unidad_02

Unidad 2

Solución numérica de E.D.Os.
con condiciones de contorno

Solución numérica de E.D.Os.
●

Los problemas de contorno

●

Derivación numérica

●

El método de las Diferencias Finitas (MDF)

●

Los métodos de aproximación global
–

Colocación

–

Galerkin

●

El método de los Elementos Finitos (MEF)

●

Aplicación

Ing. Juan F. Weber

Cálculo Avanzado

2

Los problemas de contorno
●P.V.I. de 2º orden

●

P.C. de 2º orden

2

2

M ( x)
d y
=−
2
EJ
dx

d x
dx
m 2 −b
−k x=0
dt
dt
x (0)= x 0 , x ' (0)=v 0
Ing. Juan F. Weber

y (0)= y 0 , y ( L)= y L
Cálculo Avanzado

3

Los problemas de contorno
●

P.C. de 2º orden

2

d y
dy

 y=f  x  , x ∈[ x 0 ; x L ]
2
dx
dx

Sujeta a
ó
ó
ó

Ing. Juan F. Weber

y ( x 0 )= y 0 , y ( x L )= y L

Condiciones esenciales o
de Dirichlet

y ( x0 )= y 0 , y ' ( x L )= y ' L
Condiciones mixtas

y ' ( x 0 )= y ' 0 , y ( x L )= y L
y ' ( x 0 )= y ' 0 , y ' ( x L )= y ' L
Cálculo Avanzado

Condiciones naturales o de
Neumann - Sólo para EDOs
no homogéneas
4

Los problemas de contorno
●

P.C. de orden superior
–

ej. viga biempotrada

p ( x)
y =
EJ
IV

y (0)=0 , y ( L)=0 , y ' (0)=0 , y ' ( L)=0

Ing. Juan F. Weber

Cálculo Avanzado

5Solución numérica de E.D.Os.
●

Los problemas de contorno

●

Derivación numérica

●

El método de las Diferencias Finitas (MDF)

●

Los métodos de aproximación global
–

Colocación

–

Galerkin

●

El método de los Elementos Finitos (MEF)

●

Aplicación

Ing. Juan F. Weber

Cálculo Avanzado

6

Diferenciación numérica
–

Considerando la expansión de Taylor de orden 1,
y ( x i +1 )= y ( x i )+ y ' (x i ) h+ R 1

–

Despejando y reemplazando,
y  x i1 − y  x i  R 1 y i1− y i y ' '  h2
y ' x i =
− =
−
x i1−x i
h x i1−x i
2! h

–

Que también se puede escribir como
y i+1− y i
f ' i=
+O (h)
h

Ing. Juan F. Weber

Cálculo Avanzado

Operador de derivación numérica
de 1º orden hacia adelante o
progresivo
7

Diferenciación numérica
●

Tomando -h = xi-1 – xi
f ' ' ( xi) 2
f ( x i −1)= f( x i )− f ' ( x i )h+
h −...
2!

●

Despejando,
f ( x i )− f ( x i−1 ) f ' ' ( x i )
f ' ( x i )=
+
h−...
h
2!

●

Es decir,
f ( x i )− f ( x i−1 )
f ' ( x i )=
+O (h)
h

Operador de derivación numérica
de 1º orden hacia atrás o regresivo

Ing. Juan F. Weber

Cálculo Avanzado

8

Diferenciación numérica
●

Restando miembro a miembro,
f ' ' ( xi ) 2 f ' ' ' ( xi ) 3
f ( x i +1 )= f ( x i )+ f '( x i ) h+
h+
h +...
2!
3!
f ' ' ( xi ) 2 f ' ' ' ( xi ) 3
f ( x i −1)= f ( x i )− f ' ( x i )h+
h−
h +...
2!
3!
f ' ' ' ( xi ) 3
f ( x i +1 )− f ( x i −1 )=2 f ' ( x i )h+ 2
h +...
3!

●

reordenando,
f ( x i +1 )− f ( x i−1)
2
f ' ( x i )=
+O (h )
2h

Operador de derivación numérica
de 1º orden centrado

Ing. Juan F. Weber

Cálculo Avanzado

9

Diferenciación numérica

Ing. Juan F. WeberCálculo Avanzado

10

Diferenciación numérica
●

Sumando miembro a miembro,
f ' ' ( xi ) 2 f ' ' ' ( xi ) 3
f ( x i +1 )= f ( x i )+ f ' ( x i ) h+
h+
h +...
2!
3!
f ' ' ( xi ) 2 f ' ' ' ( xi ) 3
f ( x i −1)= f ( x i )− f ' ( x i )h+
h−
h +...
2!
3!
2

f ( x i +1 )+ f ( x i −1)=2 f ( x i )+ f ' ' ( x i )h +2
●

reordenando,
f ' ' ( x i )=

Ing. Juan F. Weber

f ( x i +1 )−2 f ( x i )+ f ( x i−1 )
h

2Cálculo Avanzado

f

IV

( xi ) 4
h +...
4!

2

+O (h )

Operador de derivación numérica
de 2º orden centrado
11

Diferenciación numérica
●

En forma similar,
f

III

( x i )=

f ( x i +2 )−2 f ( x i +1 )+2 f ( x i−1 )− f ( x i −2 )
2h

3

2

+O (h )

Operador de derivación numérica
de 3º orden centrado

f

IV

( x i )=

f ( x i +2 )−4 f ( x i +1 )+6 f ( x i )−4 f ( x i −1)+ f ( x i−2 )
h4

2+O (h )

Operador de derivación numérica
de 2º orden centrado
●

Etc....

Ing. Juan F. Weber

Cálculo Avanzado

12

Diferenciación numérica
●

Encontrar la derivada de f(x) en x = 0.5, con h =
0,25
4

3

2

f ( x)=−0.1 x −0.15 x −0.5 x −0.25 x+1.2

Ing. Juan F. Weber

Cálculo Avanzado

13

Diferenciación numérica
●

Encontrar la derivada de f(x) en x = 0.5, con h =
0,25
4

3

2

f ( x)=−0.1 x...