Unidad VI Sistemas de Numeracion Resumen de Teoria II

Fuente: Facultad de Ciencias Exactas (Unsa)

CONVERSIÓN DE SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Dado un número expresado en un determinado sistema, siempre puede encontrarse el valor equivalente al mismo en cualquiera de los otros. A modo de ejemplo, mostramos la siguiente tabla elaborada para los sistemas de mayor interés:

 = 10  = 2  = 8  = 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 55
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 12 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

Esta tabla nos muestra que son equivalentes, por ejemplo: (1010)2 y (A)16, (13)10 y (15)8, (10000)2 y (20)8, (7)10 y (7)16.

Para construir esta pequeña tabla de equivalencias nos bastó escribir, en forma secuencial, los números en cada uno de lossistemas. Está claro que esto sería un método para encontrar cualquier equivalencia, pero bastante tedioso y muy propenso a errores si quisiésemos, por ejemplo el equivalente en base 8 de (A28CFA900FA)16. Veamos entonces algunos métodos que nos permitirán encontrar equivalencias.

Conversión de Números Enteros

Método de la expresión de un número como suma ponderada de potencias de su base

Vimos quepara todo Sistema de Numeración de base , se define un conjunto de caracteres al que llamamos C, que contiene los dígitos que, individualmente o en combinaciones entre ellos, representan todo número del sistema.

Sea entonces C el conjunto de caracteres de un Sistema de Numeración de base  >1, y sean i  C los dígitos de dicho Sistema. Sean además j los dígitos elementos del conjunto C’,conjunto de caracteres de la base de llegada ’.

Podemos expresar cualquier número de la base , que simbolizamos como NB , como suma ponderada de potencias de , donde los pesos de ponderación son los elementos de C:

NB = (n n-1 n-2 ... 1 0 )B =
= (n n +n-1n-1 +n-2n-2 +...+ 11 +00 )B
Cada dígito de la base de partida tiene su equivalente en la base de llegada ’:
(0 )B ()B’ ; (1 )B()B’ ; . . . . . . . . . . ; (n )B ()B’

y además, tiene también su equivalente en el Sistema de base’. Teniendo en cuenta que se expresa en base 10, de acuerdo con la convención adoptada, simbolizamos:

( )10 (* )B’

entonces:

NB = (n n +n-1n-1 +n-2n-2 +...+ 11 +00 )B
(n (*)n +n-1(*)n-1 +n-2(*)n-2 +...+ 1(*)1 +0(*)0 )B’

y de esta manera, efectuando las operacionescorrespondientes de potencia, producto y suma que quedaron expresadas en la aritmética de la base de llegada ’, se compone el número NB’, equivalente de NB.

Ejemplos:
1) (1A2)16 a base 8.
Descomponemos el número como suma de potencias de la base 16:
(1A2)16 = ( 1 * 162 + A * 161 + 2 * 160 )16
En nuestro caso : (0 = 2 )16, (1 = A )16, (2 = 1 )16. Buscamos ahora sus correspondientes equivalentes en la base 8:(1)16 (1)8, (A)16 (12)8, (2)16 (2)8.
Esto es : (0 = 2)8, (1 = 12)8, (2 = 1)8.
La base de partida es: ()10 = (16)10, por lo tanto, su equivalente en la base de llegada será:
(*)8 = ( 20 )8, pues (16)10 (20)8.
Reemplazando por los equivalentes y haciendo las operaciones con aritmética del Sistema Octal:
(1A2)16 = ( 1 * 202 + 12 * 201 + 2 * 160 )16 ≡ ( 1 * 400 + 12 * 20 + 2 )8 =
( 400 + 240 + 2 )= ( 642 )8
O sea : (1A2)16 = (642)8

2) (10011101)2 a base 16
(10011101)2 = ( 1 * 27 + 1 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 1 )2.
Como: (1)2 (1)16 y (2)10 (2) 16
Utilizando aritmética del Sistema Hexadecimal para efectuar las operaciones, obtenemos:
(10011101)2 ≡ ( 1 * 27 + 1 * 24 + 1 * 23 + 1 * 22 + 1)16 = ( 80 + 10 + 8 + 4 + 1)16 = (9D)16

3) (703)8 a base 10.
(703)8 = ( 7 * 82 + 4 )8 ( 7 x82 + 4 )10 = ( 448 + 4 )10 = (452)10.

Como hemos señalado al principio y mostrado con algunos ejemplos, el método es general: podemos convertir de cualquier base a de partida a cualquier base de llegada. Sin embargo, es muy conveniente notar que, este método en particular, resulta de mayor practicidad cuando la base de llegada es ’ = 10, pues utilizamos una aritmética que nos es conocida....