Utfsm Pauta Certamen

Ejercicios Resueltos Mat 022
Profesor: Antonio Morales A.

1. Sean a, b ∈ R y C = (cij )3×3 ∈ M3 (R) la matriz definida por { cij = a, b, si i = j si i ̸= j.

Determine los valores de a y b para los cuales se verifica la relaci´n C 2 = I3 . o Soluci´n. Es f´cil ver que la matriz C es de la forma o a   a b b C =  b a b . b b a Adem´s, tenemos que a C2  a b a b b  b a b  b a = b b b b a 2 a + 2b2 b2 + 2ab =  b2 + 2ab a2 + 2b2 b2 + 2ab b2 + 2ab   b b  a

 b2 + 2ab b2 + 2ab  . a2 + 2b2

As´ la relaci´n C 2 = I3 nos lleva a resolver el sistema ı, o a2 + 2b2 = 1 b2 + 2ab = 0. Multiplicando la segunda ecuaci´n de este sistema por −1 y sum´ndola a la primera ecuaci´n, o a o obtenemos que (a − b)2 = 1, de donde a = b + 1 ´ a = b − 1. Ahora bien, si a = b + 1, tenemos o(reemplazando en la primera ecuaci´n del sistema) la ecuaci´n (b + 1)2 + 2b2 = 1, cuyas soluciones o o 2 1 2 son b = 0 ´ b = − . Si b = 0, entonces a = 1, y si b = − , entonces a = . Un procedimiento similar o 3 3 3 2 1 muestra que si a = b − 1, entonces b = 0 ´ b = , de donde a = 1 ´ a = − . As´ los posibles valores o o ı, 3 3 1 2 1 2 de a y b son: a = 1 y b = 0; a = y b = − ; a = − y b = . 3 3 3 32

2. Una matriz A ∈ Mn (K) idempotente si A2 = A. Demuestre que si A ∈ Mn (K) es una matriz idempotente, entonces la matriz B = In − A tambi´n es idempotente, y que AB = BA = [0]n . e Soluci´n. Dado que o B2 = = = = = = (In − A)2 (In − A)(In − A) 2 In − In A − AIn + A2 In − A − A + A In − A B,

se tiene que la matriz B es idempotente. Por otro lado, AB = A(In − A) = AIn − A2 = A − A = [0]n, y BA = (In − A)A = In A − A2 = A − A = [0]n , de donde AB = BA = [0]n . 3. Una matriz A ∈ Mn (K) se dice involutiva si A2 = In . Demuestre que si A es una matriz involutiva, 1 entonces la matriz B = (In + A) es idempotente (ver ejercicio 2). 2 Soluci´n. Dado que o B
2

( = = = = = = = = =

1 (In + A) 2

)2

1 (In + A)2 4 1 2 (In + In A + AIn + A2 ) 4 1 (In + 2A + A2 ) 4 1 (In + 2A + In) 4 1 (2In + 2A) 4 1 (2(In + A)) 4 1 (In + A) 2 B,

resulta que B es idempotente.

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4. Sea

 −3 5 6 2  ∈ M3 (R). A =  −1 2 1 −1 −1



a) Demuestre que A es una matriz invertible. b) Encuentre A−1 , usando el m´todo de la adjunta. e c) Verifique el resultado obtenido en b), aplicando operaciones elementales filas. Soluci´n. o a) Dado que |A| = −3 2 2 −1 2 −1 2 −5 +6 −1 −1 1 −1 1−1 = −3(−2 + 2) − 5(1 − 2) + 6(1 − 2) = 0+5−6 = −1 ̸= 0,

entonces A es una matriz invertible. b) Se verifica que la matriz adjunta de A es  0 −1 −2 Adj(A) =  1 −3 0  . −1 2 −1 De esta forma, A−1 = 1 Adj(A) |A|  0 −1 = −1  1 −3 −1 2  0 1 2 =  −1 3 0 1 −2 1 

 −2 0  −1  .

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c) Tenemos que   1 −3 5 6 : 1 0 0  −1 2  F13  −1 2 : 0 1 0 ∼ −3 1 −1 −1 : 0 0 1    1 1 −1 −1 : 0 01 F21 (1)F31 (3) (−2)  0 1  F32∼  0 1 : 0 1 1 ∼ ∼ 0 2 3 : 1 0 3 0    1 −1 0 : 1 2 2 1 F23 (−1)F13 (1) F12 (1) ∼ ∼  0 1 0 : −1 3 0  ∼  0 0 0 1 : −1 −2 1 0   0 1 2 Luego, A−1 =  −1 3 0  . 1 −2 1  5. Encuentre una matriz X ∈ M2 (R) tal que XB(A + A2 ) − (XB − B 2 )A − B 2 A = A, ) ) ( ( 0 1 0 3 . yB= donde A = 4 3 1 0 Soluci´n: Notemos primero que A y B son invertibles, puesto que |A| =−3 y |B| = −4. Ahoo ra bien, XB(A + A2 ) − (XB − B 2 )A − B 2 A = A ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ XBA + XBA2 − XBA + B 2 A − BA2 = A XBA2 = A XB = A−1 X = A−1 B −1 X = (BA)−1 ( ) 1 0 ⇔ X= . −1/4 1/12  −1 −1 : 0 0 1 2 2 : 0 1 0  5 6 : 1 0 0  −1 −1 : 0 0 1 1 1 : 0 1 1  0 1 : 1 −2 1  0 0 : 0 1 2 1 0 : −1 3 0  . 0 1 : 1 −2 1

6. Encuentre m ∈ R de modo que el sistema de ecuaciones lineales mx + y − z = 0 2x + my+ z = 0 y + mz = 0 tenga infinitas soluciones, y determ´ ınelas.

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Soluci´n. El determinante de la matriz asociada al sistema de ecuaciones est´ dado por o a m 1 −1 2 m 1 0 1 m = m m 1 1 −1 −2 1 m 1 m

= m3 − 3m − 2 = (m + 1)2 (m − 2). Luego, este determinante es igual a cero cuando m = −1 ´ m = 2. Ahora bien, si m = −1, tenemos o el sistema −x + y − z = 0 2x − y + z = 0 y − z = 0, y...