VALORES MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES

VALORES MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES
OBJETIVO: el estudiante calculara los valores máximos y mínimos relativos de una función; mediante la aplicación de los criterios de la primera y segunda derivada, analizando los intervalos donde la función es creciente y decreciente, cóncava o convexo e identificando la existencia de puntos de inflexión para su graficado y solución deproblemas de optimización y aproximación, mostrando una actitud reflexiva y de cooperación.
BIBLIOGRAFIA
Fuenlabrada de la VI Samuel matemáticas V
Calculo Integral Ed. McGraw Hill
Granville William A; 1977 Calculo Diferencial e Integral

DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS
“PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS”
1.- Log a=1 a=a
2.- Log a 1=0 a˚=1
3.- Log a (P x Q) = Log P + log a Q
4.- Log(P/Q)= Log P-log a Q
5.- Log a (P^n) n* log P

FUNCION LOGARITMICA: es aquella que genéricamente se expresa como f(x)= log a x siendo la base de esta función que ha de ser positiva y distinta de uno, es la inversa de la función exponencial.

Formulas para derivar:
1.-D/DX (LOG U) LOG E / U DU/DX
2.-D/DX(N U) DU/DX/U = I/U DU/ DX
3.- D/DX (LN X) = 1/ X
4.-D/DX (LN U)= 1/U*DU/DXEjemplos: ejemplo2:
1.- √1-X²= (1-X²) ⅟2 ⅟= ln(x²+1)
FORMULA 2.- y= ½ ln (1-x²) y= 1/x²+1 d/dx (x²+1)
Dy/dx= ½ d/dx (1-x²)/1-x² y= 1/x²+1 (2x)= 2x/x²+1
=1/2= 2x/ 1-x²= x/ x²-1


Propiedades:
1.- Log ab= log a + log b
2.- Log a/b= log a – log b
3.- log a^n= n log a
4.- log 1= 0
5.- log a=1

Otras formulas: d/dx(log U)= log e/U (du/dx)d/dx(ln U)= du/dx -1 du
U -U dx
Ejemplos:
Y= ln (2x+5)³
Y= 3 log (2x+5)
Y= 3∑d/dx ln (2x+5) =
Y= 3 1/ 2x+5 d/ dx (2x+5)
Y=3∑ 1/2x+5 (2)
Y= 6/ 2x+5

Formula: ln x (función que a de ser positiva y distinta de uno)
ln b


APLICACIONES DE LA DERIVADA
Unafunción es creciente cuando su derivada es positiva, es decreciente cuando su derivada es negativa














Si es mayor de 90˚ es decreciente, de lo contrario es creciente.
Hallar los intervalos en que la función y= X³- 6X²+9X
Primer paso: calcular la derivada
Segundo paso: se iguala la primera derivada a 0, y se hallan las raíces reales de la ecuación resultante, estas raícesson los valores críticos de la variable.
Tercer paso: se consideran los valores críticos uno por uno y se calculan los signos de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor que el valor critico y después para un valor un poco mayor que él.

Ejemplos:
Y= x4-4x3+15
Y ‘= 4x3-12x2
(4x2) (x-3)
4x2=0 x-3=0
X2=0(4)x==+3
X= 0(4)
SON LOS PUNTOS CRITICOS
(--
SUSTITUCION
Y ‘= 4(-1)3-12(-1)2 Y ‘= 4(2)3-12(2)2 Y ‘= 4(4)3-12(4)2
Y ‘=-4 -12 Y ‘=32-48 Y ‘=256 -192
Y ‘=-16 Y ‘=16 Y ‘=64


MAXIMOS Y MINIMOS
Si el signo de la derivada es primeramente positivo y después negativo, la función tiene máximo para este valor crítico de la variable; en el caso contrario, tiene un mínimo; si el signo nocambia la función no tiene máximos ni mínimos para el valor crítico considerado


TABULACION
INTERVALO
SUSTITUCION
SIGNO
CONCLUSION
-
Y ‘=-16
-
Decreciente
-
Y ‘=16
+
Creciente

Y ‘=64
+
Creciente

Encuentra los intervalos en los que la función f(X)= X² /...