Aplicaciones maximos y minimos

Aplicaciones de M´ximos y M´
a
ınimos
Los m´todos para calcular los m´ximos y m´
e
a
ınimos de las funciones se pueden aplicar a la
soluci´n de algunos problemas pr´cticos. Estos problemas pueden expresarse verbalmente o por
o
a
escrito. Para resolverlos hay que transformar sus enunciados en f´rmulas, funciones o ecuaciones.
o
Como hay muchos tipos de problemas en las aplicaciones, esdif´ enunciar reglas espec´
ıcil
ıficas para
encontrar sus soluciones. Sin embargo, puede desarrollarse una estrategia general para abordar
tales problemas. la siguiente gu´ es de utilidad.
ıa
´
GU´ PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS DE MAXIMOS Y M´
IA
INIMOS
1.- Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los hechos dados y en las cantidades
desconocidas que se tratan deencontrar.
2.- De ser posible, hacer un croquis o un diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo
variable para las cantidades desconocidas. Las palabras como qu´, encontrar, cu´nto, d´nde
e
a
o
o cu´ndo suelen estar asociadas a las cantidades desconocidas.
a
3.- Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.
4.- Determinar cual es la variable que se deseaoptimizar (minimizar o maximizar seg´n el caso)
u
y expresar ´sta como una funci´n de una de las otra variables.
e
o
5.- Encontrar los n´meros cr´
u
ıticos de la funci´n obtenida en el paso 4 e investigar si corresponden
o
a m´ximos o m´
a
ınimos.
6.- Verificar si hay m´ximos o m´
a
ınimos en la frontera del dominio de la funci´n que se obtuvo
o
en el paso 4.
7.- No desanimarse sino se puede resolver alg´n problema. Adquirir habilidad para resolver
u
problemas aplicados toma una gran cantidad de esfuerzo y pr´ctica. ¡Hay que
a
seguir intentando!
La soluci´n de los siguientes problemas ilustra el uso de la Gu´
o
ıa
Problema 1 Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cart´n de 16cm de ancho y 21cm de largo,recortando un cuadrado en cada esquina y
o
doblando, los lados hacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de
volumen m´ximo.
a
Soluci´n. Aplicando el paso 2 de la Gu´ comenzaremos por trazar un croquis del cart´n como
o
ıa,
o
se muestra en la figura 1, en donde la letra x denota la longitud del lado del cuadrado que se va a
recortar en cada esquina. N´tese que 0≤ x ≤ 8. Usando el paso 3, escribimos los datos conocidos
o
(el tama˜o del rect´ngulo) en los lugares apropiados de la figura
n
a
x

16

16 − 2x
21 − 2x

x
21 − 2x

21

Figura 1

16 − 2x

Figura 2

Despu´s (paso 4), se ve que lo que se desea maximizar es el volumen V de la caja que se formar´
e
a
doblando a lo largo de las l´
ıneas punteadas (ver Figura 2). Continuando conel paso 4 de la Gu´
ıa,
expresamos V como una funci´n de la variable x.
o
V = x(16 − 2x)(21 − 2x) = 2(168x − 37x2 + 2x3 ).
Esta ecuaci´n expresa V como una funci´n de x cuyo dominio es [0, 8]. Buscamos ahora los n´meros
o
o
u
cr´
ıticos para probar si son m´ximos o m´
a
ınimos (paso 5). Derivando con respecto a x e igualando
a cero,
28
dV
= 4(3x − 28)(x − 3) = 0 ⇒ x = 3, x =
.dx
3
Entonces, los n´meros cr´
u
ıticos son 28 y 3. Como 28 est´ fuera del dominio de la funci´n, el unico
a
o
´
3
3
n´mero cr´
u
ıtico es 3. Usando el Criterio de la Segunda Derivada comprobamos que en x = 3 V
tiene un m´ximo local
a
d2 V
d2 V
= 4(6x − 37) ⇒
|x=3 = −76 < 0.
dx2
dx2
Finalmente se ve si hay valores extremos en la frontera del dominio de la funci´n (paso 6). Comoo
DomV (x) = [0, 8] entonces calculamos la imagen de x = 3, x = 0, x = 8.
V (3) = 450,

V (0) = 0,

V (8) = 0.

Por lo tanto, para obtener una caja de volumen m´ximo debe recortarse un cuadrado de 3cm de
a
cada lado de la esquina de la hoja de cart´n.
o
Problema 2 Se desea elaborar un peque˜o recipiente cil´
n
ındrico sin tapa que tenga un volumen de
24πcm3 . El material que...