Valores Y Vectores Propios

VALORES Y VECTORES PROPIOS
Definición.-
Sea A una matriz cuadrada, un número real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor característico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal que:
Ax = λx
Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicación por A el vector resultante mantiene su dirección, posiblemente solo su longitud y/o sentido semodifique. El vector x se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio λ.
Algunos de estos campos de aplicación son:
- Ecuaciones diferenciales
- Estabilidad de sistemas lineales
- Sistemas eléctricos (componentes simétricas)
- Polos y ceros de funciones transferencia
- Diagonalización de matrices
Podemos averiguar si el problema planteado por Ax = λx tiene solución si larescribimos como sigue
(A – I λ )x = 0
Así el problema se transforma en el ya conocido sistema lineal homogéneo Bx=0, el cual ya sabemos que tiene solución única x=0 cuando det(B) es diferente a 0. Justamente este es el caso que no nos interesa.
El número l se dice valor propio de A (matriz cuadrada) si y sólo si (A – I λ )x = 0 esta es la ecuación característica de la matriz A.
Asi podemosver que resulta ser un polinomio en potencias de l. Por ello a la expresión
a(λ)=det(A - Iλ)
se le llama polinomio característico de la matriz A
Observación: El polinomio característico de una matriz de dimensión nxn es de grado n, por lo cual tendrá n posibles valores propios λl que satisfacen la ecuación. Si λ es un valor propio de A y si x es el vector no nulo tal que Ax = λx entonces x sedice vector propio de A correspondiente al valor propio λ.
Ejemplos
A medida que la Tierra rota, los vectores en el eje de rotación permanecen invariantes. Si se considera la transformación lineal que sufre la Tierra tras una hora de rotación, una flecha que partiera del centro de la Tierra al polo Surgeográfico sería un vector propio de esta transformación, pero una flecha que partiera del centroa un punto del ecuador no sería un vector propio. Dado que la flecha que apunta al polo no cambia de longitud por la rotación, su valor propio es 1.
Otro ejemplo sería una lámina de metal que se expandiera uniformemente a partir de un punto de tal manera que las distancias desde cualquier punto al punto fijo se duplicasen. Esta expansión es una transformación con valor propio 2. Cada vectordesde el punto fijo a cualquier otro es un vector propio, y el espacio propio es el conjunto de todos esos vectores.
Una onda estacionaria en una cuerda fija en sus cabos o, más concretamente, una función propia de la transformación correspondiente al transcurso del tiempo. A medida que varía el tiempo, la onda estacionaria varía en amplitud, pero su período no se modifica. En este caso el valorpropio es dependiente del tiempo.
Sin embargo, el espacio geométrico tridimensional no es el único espacio vectorial. Por ejemplo, considérese una cuerda sujeta por sus extremos, como la de un instrumento de cuerda (mostrada a la derecha). La distancia de los átomos de la cuerda vibrante desde sus posiciones cuando ésta está en reposo pueden interpretarse como componentes de un vector en el espaciocon tantas dimensiones como átomos tenga dicha cuerda.
Si se supone que la cuerda es un medio continuo y se considera la transformación de la cuerda en el transcurso del tiempo, sus vectores propios o funciones propias son sus ondas estacionarias—lo que, mediante la intervención del aire circundante, se puede interpretar como el resultado de tañer una guitarra. Las ondas estacionarias correspondena oscilaciones particulares de la cuerda tales que la forma de la cuerda se escala por un factor (el valor propio) con el paso del tiempo. Cada componente del vector asociado con la cuerda se multiplica por este factor dependiente del tiempo. Las amplitudes (valores propios) de las ondas estacionarias decrecen con el tiempo si se considera la atenuación. En este caso se puede asociar un tiempo...