Valores y vectores

VALORES Y VECTORES PROPIOS
En diversos campos de la ingeniería y las matemáticas
surge el problema de calcular los valores escalares y
los vectores x0 tales que para la matriz cuadrada A
se cumple
Ax = x (1)
Algunos de estos campos de aplicación son:
- Ecuaciones diferenciales
- Estabilidad de sistemas lineales
- Sistemas eléctricos (componentes simétricas)
- Polos y ceros defunciones transferencia
- Diagonalización de matrices
Podemos averiguar si el problema planteado por (1)
tiene solución si la reescribimos como sigue
(A - )x = 0 (2)
Así el problema se transforma en el ya conocido
sistema lineal homogéneo Bx=0, el cual ya sabemos
que tiene solución única x=0 cuando det(B)0. Justamente
este es el caso que no nos interesa.
El número se dice valor propiode A (matriz cuadrada)
si y sólo si
det(A - ) = 0 (3)
esta es la ecuación característica de la matriz A.
El determinante que aparece en (3) resulta ser un
polinomio en potencias de . Por ello a la expresión
a()=det(A - ) (4)
se le llama polinomio característico de la matriz A.
Observación: El polinomio característico de una matriz
de dimensión nn es de grado n, por lo cualtendrá n
posibles valores propios que satisfacen (3)
Si es un valor propio de A y si x es el vector no nulo
tal que Ax = x entonces x se dice vector propio de A
correspondiente al valor propio 
Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para
la matriz A 4 5
2 3
Solución: La ecuación característica queda:
detA kIdet
4 k 5
2 3 k
0
o sea:
(4-l )(-3-l ) + 10 = l2 - l
- 2 = 0
factorizando:
(l +1)(l -2 ) = 0
con lo cual obtenemos dos valores propios:
l 1 = -1, l 2 = 2
buscamos ahora los correspondientes vectores propios:
para l 1 = -1:
a k1Ix 5 5
2 2
x1
x2
0
0
el sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones
de la forma x=[x1, x1]t. Así, por ejemplo x=[1 1]t es un
vector propio correspondiente a l 1 = -1.
para l 2 = 2:
ak1Ix 2 5
2 5
x1
x2
0
0
nuevamente el sistema obtenido tiene una infinidad de
soluciones de la forma x=[x1, 0.4x1]t. Así, por ejemplo
x=[5 2]t es un vector propio correspondiente a l 2 =
2.
Como puede verse del ejemplo anterior, a un valor
propio en general le corresponden una infinidad de
vectores propios este conjunto infinito es un espacio
vectorial y se denomina elespacio propio correspondiente
a 
Obsérvese además que para un k dado, su espacio
propio correspondiente es el espacio nulo de la matriz
(A-I).
en Matlab:
» % Introducimos la matriz del ejemplo
» A=[4 -5;2 -3];
» % Calculamos sus valores propios:
» eig(A)
ans = 2
-1
» % Calculamos sus vectores propios unitarios:
» [V,D]=eig(A);
V =
0.9285 0.7071
0.3714 0.7071
D =
2 0
0 -1Propiedades Básicas de los valores propios
La suma de los n valores propios de la matriz A es igual
a su traza: l 1+l 2+...+l n =
traza(A)
El producto de los n valores propios de la matriz A es
igual a su determinante: l 1l 2...l n =
det(A)
Los valores propios de una matriz triangular (superior
o inferior) son los valores de su diagonal.
Tarea: Para la matriz A . Calcula sus valores 0 11 0
propios, sus vectores propios unitarios correspondientes
y verifica las dos primeras propiedades anteriores.
Diagonalización
Dada una matriz cuadrada A, y una matriz invertible T.
A la matriz B=T-1AT se le llama matriz similar a A y a la
operación T-1AT se le llama transformación de
similaridad
Propiedades básicas: Una transformación de similaridad
es una relación de equivalenciaporque es:
- Reflexiva: Una matriz es similar a sí misma.
- Simétrica: Si A es similar a B, B es similar a A.
- Transitiva: Si A es similar a B y B es similar a
C, entonces A es similar a C.
Tarea: a) Demostrar las propiedades básicas. b) Dar
otro ejemplo de una relación de equivalencia.
Otras propiedades:
- Las siguientes características de una matriz son
invariantes (no se alteran)...