valores propios y vectores propios

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Valores propios y vectores propios
Definición
Sea A una matriz de n x n. Se dice que un escalar λ es un valor propio de A si existe en R n
un vector X, distinto de cero, tal que

AX = λ X
El vector X es el vector propio correspondiente a λ .
Valores propios = eigenvalores = autovalores = valorescaracterísticos = raíces latentes
Vectores propios = eigenvectores = autovectores = vectores característicos

Calculo de los valores propios y de los vectores propios
Sea A una matriz de n x n con el valor propio λ y su correspondiente vector propio X. Por
lo tanto, AX = λ X , esta ecuación se reescribe como

AX − λ X = 0
lo que nos da

( A − λ I n )X = 0
Esta ecuación matricial representa unsistema de ecuaciones lineales, Una solución es X=0.
Este sistema tiene soluciones distintas de cero sólo si la matriz de coeficientes ( A − λ I n ) es
singular, es decir A − λ I n = 0 , al resolver esta ecuación para λ , se encuentran los valores
propios de A.
Polinomio característico de A se obtiene al resolver el determinante A − λ I n , en λ .
Ecuación característica de A es la ecuación A − λI n = 0 .
Matriz característica de A es la matriz A − λ I n
Los vectores propios se encuentran al sustituir los valores propios en la ecuación
( A − λ I n )X = 0 .

Ejemplo
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
⎡ − 4 − 6⎤
A=⎢
5⎥
⎦
⎣3
ALGEBRA LINEAL

1

M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓNFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Solución
Polinomio característico de A
−4−λ −6
⎡1 0 ⎤
⎡− 4 − 6⎤
A − λ I2 = ⎢
⎥ − λ ⎢0 1 ⎥ = 3
5⎦
5−λ
⎦
⎣
⎣3
= (− 4 − λ )(5 − λ ) + 18 = λ2 − λ − 2 = (λ − 2 )(λ + 1)

El polinomio característico es λ2 − λ − 2
Los valores propios de A son 2 y –1.
Al usar estos valores de λ en la ecuación ( A − λ I n )X = 0 se encuentran los vectorespropios correspondientes. Para cada valor propio hay muchos vectores propios
correspondientes.
Usando λ = 2

( A − λ I n )X

⎛ ⎡− 4 − 6⎤ ⎡1 0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡− 6 − 6⎤ ⎡ x1 ⎤
⎟
=0
=⎜ ⎢
−2
=
⎜ 3
5 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎟ ⎢ x 2 ⎥ ⎢ 3
3 ⎥ ⎢ x2 ⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎠⎣ ⎦ ⎣
⎦⎣ ⎦
⎝
− 6 x1 − 6 x 2 = 0

3x1 + 3x 2 = 0
de donde se obtiene x1 = − x 2 . Las soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = − r y
x 2 =r , donde r es un escalar. Los vectores propios de A que corresponden a λ = 2 son los
vectores distintos de cero de la forma
⎡ x1 ⎤
⎡− 1⎤
⎢x ⎥ = r ⎢ 1 ⎥
⎣ ⎦
⎣ 2⎦

Usando λ = −1

( A − λI n ) X

⎛ ⎡− 4 − 6⎤ ⎡1 0⎤ ⎞ ⎡ x1 ⎤ ⎡− 3 − 6⎤ ⎡ x1 ⎤
⎟
=0
=
+1
=⎜ ⎢
⎜ 3
5 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎟ ⎢ x 2 ⎥ ⎢ 3
6 ⎥ ⎢ x2 ⎥
⎦⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎠⎣ ⎦ ⎣
⎝
− 3x1 − 6 x 2 = 0

3x1 + 6 x 2 = 0
de donde se obtienex1 = −2x 2 . Las soluciones de este sistema de ecuaciones son x1 = −2 s
y x 2 = s , donde s es un escalar. Los vectores propios de A que corresponden a λ = −1 son
los vectores distintos de cero de la forma
⎡ x1 ⎤
⎡ − 2⎤
= s⎢ ⎥
⎢x ⎥
⎣1 ⎦
⎣ 2⎦
ALGEBRA LINEAL

2

M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍAMECÁNICA Y ELÉCTRICA

El conjunto de vectores propios para λ = 2 , junto con el vector cero, es un subespacio
⎧⎡− 1⎤ ⎫
unidimensional de R 2 con base ⎨⎢ ⎥ ⎬ .
⎩⎣ 1 ⎦ ⎭
El conjunto de vectores propios para λ = −1 , junto con el vector cero, es un subespacio
⎧ ⎡ − 2⎤ ⎫
unidimensional de R 2 con base ⎨⎢ ⎥ ⎬ .
⎩⎣ 1 ⎦ ⎭

Teorema
Sea una matriz de n x n y λ un valor propio de A. El conjuntode vectores propios
correspondientes para λ , junto con el vector cero, es un subespacio de R n . A este
subespacio se le conoce como espacio propio de λ .

Ejemplo
Encuentre los valores propios y los vectores propios de la matriz
⎡5 4 2⎤
A = ⎢ 4 5 2⎥
⎢
⎥
⎢ 2 2 2⎥
⎣
⎦

Solución
El polinomio característico de A

5−λ
4
⎡1 0 0 ⎤
⎡5 4 2⎤
⎢ 4 5 2 ⎥ − λ ⎢0 1 0 ⎥ = 4
A − λ I3 = ⎢...