Variado
Páginas: 5 (1064 palabras)
Publicado: 24 de mayo de 2014
Ondas estacionarias en una cuerda
Modos normales de vibración de una barra elástica con ambos extremos fijos
Modos normales de vibración de una barra elástica con un extremo libre
Medida del módulo de Young de una barra elástica
Referencias
Vamos a comprobar que los modos de vibración de una barra con ambos extremos fijos son similares a los de una cuerda aunque su descripción analíticaes mucho más complicada.
En primer lugar, volvemos a obtener la fórmula de las frecuencias de los modos normales de vibración de una cuerda cuyos extremos están fijos por otro procedimiento más general que nos va a servir de modelo para describir los modos de vibración de una barra con ambos extremos fijos.
Ondas estacionarias en una cuerda
1. La ecuación diferencial del movimientoondulatorio es
siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda y ψ el desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t.
2. Estudiamos una solución de la forma
ψ(x,t)=y(x)·sen(ωt)
Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω.
La ecuación diferencial se convierte en
La solución de esta ecuación diferencial, similar a la deun M.A.S., es
y=Asen (kx)+Bcos(kx) con k=ω/v que es el número de onda
3. Las condiciones de contorno son:
La cuerda está fija por sus extremos x=0 y x=L
De la primera condición, tenemos que B=0.
y de la segunda,
sen(kL)=0 o bien, kL=nπ, con n=1, 2, 3,…
que nos da los distintas frecuencias de vibración de la cuerda
La amplitud de las oscilaciones de los puntos x de la cuerda en el modonormal n es
Estas funciones cumplen que
La integral es el área bajo la curva de la figura inferior.
Modos normales de vibración de una barra elástica con extremos fijos
Para encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con ambos extremos fijos seguimos un procedimiento similar
1. La ecuación diferencial del movimiento de un elemento de la barra es
Siendo ψ eldesplazamiento trasversal de un punto x de la barra en el instante t.
ρ es la densidad de la barra
Y es el módulo de Young del material de la barra.
I=ab3/12 es el momento de inercia de la sección trasversal rectangular de la barra de anchura a y espesor b.
2. Estudiamos una solución de la forma
ψ(x,t)=y(x)·sen(ωt)
Cada punto x de la barra vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω.La ecuación diferencial se convierte en
Las raíces de la ecuación característica son
son dos raíces reales y dos imaginarias
r=q, r=-q, r=iq, r=-iq
La solución general es
o de forma equivalente
y=A1senh(qx)+A2·cosh(qx)+A3·sen(qx)+A4·cos(qx)
La pendiente o derivada de y es,
3. Condiciones de contorno.
La barra está firmemente sujeta por sus extremo x=0, y la pendiente en estepunto es dy/dx=0.
0=A2+A4
0=A1+A3
La barra está firmemente sujeta por sus extremo x=L, y la pendiente en este punto es dy/dx=0.
0=A1(senh(qL)-sen(qL))+A2(cosh(qL)-cos(qL))
0=A1(cosh(qL)-cos (qL))+A2(senh(qL)+sen(qL))
Eliminado A1 y A2 obtenemos una ecuación trascendente en qL
(senh(qL)-sen(qL))·(senh(qL)+sen(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))2=0
Las raíces rn=qn·L de esta ecuación se calculan por elprocedimiento numérico del punto medio, sus primeros cinco valores son:
rn=4.73, 7.85, 11.00, 14.14, 17.27
Conocido los valores posibles de qn se calculan las frecuencias de vibración ωn=2πfn
Donde fn es la frecuencia del modo normal n de vibración y Cn es un número que corresponde a este modo. Sus primeros valores son:
C1=3.56, C2=9.82, C3=19.2, C4=31.8, C5=47.5, etc.
El coeficiente Cn esindependiente de las características de la barra y el segundo término, bajo la raíz, depende del material y de las dimensiones de la barra.
La amplitud de la vibración y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n es:
El valor de la constante de proporcionalidad A es la escala vertical. Para que todos los modos de vibración estén dibujados a la misma escala, se...
Modos normales de vibración de una barra elástica con ambos extremos fijos
Modos normales de vibración de una barra elástica con un extremo libre
Medida del módulo de Young de una barra elástica
Referencias
Vamos a comprobar que los modos de vibración de una barra con ambos extremos fijos son similares a los de una cuerda aunque su descripción analíticaes mucho más complicada.
En primer lugar, volvemos a obtener la fórmula de las frecuencias de los modos normales de vibración de una cuerda cuyos extremos están fijos por otro procedimiento más general que nos va a servir de modelo para describir los modos de vibración de una barra con ambos extremos fijos.
Ondas estacionarias en una cuerda
1. La ecuación diferencial del movimientoondulatorio es
siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda y ψ el desplazamiento trasversal de un punto x de la cuerda en el instante t.
2. Estudiamos una solución de la forma
ψ(x,t)=y(x)·sen(ωt)
Cada punto de la cuerda vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω.
La ecuación diferencial se convierte en
La solución de esta ecuación diferencial, similar a la deun M.A.S., es
y=Asen (kx)+Bcos(kx) con k=ω/v que es el número de onda
3. Las condiciones de contorno son:
La cuerda está fija por sus extremos x=0 y x=L
De la primera condición, tenemos que B=0.
y de la segunda,
sen(kL)=0 o bien, kL=nπ, con n=1, 2, 3,…
que nos da los distintas frecuencias de vibración de la cuerda
La amplitud de las oscilaciones de los puntos x de la cuerda en el modonormal n es
Estas funciones cumplen que
La integral es el área bajo la curva de la figura inferior.
Modos normales de vibración de una barra elástica con extremos fijos
Para encontrar los modos normales de vibración de una barra elástica con ambos extremos fijos seguimos un procedimiento similar
1. La ecuación diferencial del movimiento de un elemento de la barra es
Siendo ψ eldesplazamiento trasversal de un punto x de la barra en el instante t.
ρ es la densidad de la barra
Y es el módulo de Young del material de la barra.
I=ab3/12 es el momento de inercia de la sección trasversal rectangular de la barra de anchura a y espesor b.
2. Estudiamos una solución de la forma
ψ(x,t)=y(x)·sen(ωt)
Cada punto x de la barra vibra con una amplitud y(x) y con frecuencia angular ω.La ecuación diferencial se convierte en
Las raíces de la ecuación característica son
son dos raíces reales y dos imaginarias
r=q, r=-q, r=iq, r=-iq
La solución general es
o de forma equivalente
y=A1senh(qx)+A2·cosh(qx)+A3·sen(qx)+A4·cos(qx)
La pendiente o derivada de y es,
3. Condiciones de contorno.
La barra está firmemente sujeta por sus extremo x=0, y la pendiente en estepunto es dy/dx=0.
0=A2+A4
0=A1+A3
La barra está firmemente sujeta por sus extremo x=L, y la pendiente en este punto es dy/dx=0.
0=A1(senh(qL)-sen(qL))+A2(cosh(qL)-cos(qL))
0=A1(cosh(qL)-cos (qL))+A2(senh(qL)+sen(qL))
Eliminado A1 y A2 obtenemos una ecuación trascendente en qL
(senh(qL)-sen(qL))·(senh(qL)+sen(qL))-(cosh(qL)-cos (qL))2=0
Las raíces rn=qn·L de esta ecuación se calculan por elprocedimiento numérico del punto medio, sus primeros cinco valores son:
rn=4.73, 7.85, 11.00, 14.14, 17.27
Conocido los valores posibles de qn se calculan las frecuencias de vibración ωn=2πfn
Donde fn es la frecuencia del modo normal n de vibración y Cn es un número que corresponde a este modo. Sus primeros valores son:
C1=3.56, C2=9.82, C3=19.2, C4=31.8, C5=47.5, etc.
El coeficiente Cn esindependiente de las características de la barra y el segundo término, bajo la raíz, depende del material y de las dimensiones de la barra.
La amplitud de la vibración y(x) de los distintos puntos x de la barra en el modo normal de vibración n es:
El valor de la constante de proporcionalidad A es la escala vertical. Para que todos los modos de vibración estén dibujados a la misma escala, se...
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