vectores rectas y planos

PRODUCTO DE DOS VECTORES
Hay dos tipos de vectores:
a) Producto escalar llamado también producto punto y da como resultado un valor numérico.
b) Producto vectorial llamado también producto cruz y da como resultado un vector.

PRODUCTO ESCALAR
Sean los vectores:
= a1i + a2j+ a3k
= b1i + b2j+ b3k
. = (a1 b1)i + (a2 b2)j+ (a3 b3)k
Sean los vectores:
= 3i + 4j – 5k
=–2i + 3j–8k
. = –6 + 12 + 40
. = 46
OTRA FORMA DE ENCONTRAR EL PRODUCTO ESCALAR
. = cos θ
Siendo θ el ángulo entre ellos.
cos θ =

θ = arcos


Sean los vectores:
= 2i – 3j + 4k
= 3i + 4j–5k
=
=

=
=

. = 6 -12 - 20
. = -26
θ = arcos
θ =


. = cos θ
A B si suproducto vectorial es igual a 0 (cuando cos ())
A B si B B = AK donde K pertenece a los R.
Es decir que uno será el múltiplo del otro.
Sea el vector = 3i + 4j – 2k
Encontrar:
a) Un vector paralelo a
b) Encontrar un vector perpendicular a
= 2
= 6i + 8j –4k

Un vector perpendicular a
= 3i + 4j – 2k

= 3i + 4j – 2k
= ai + bj + ck= 0
3a + 4b – 2c =0
a = 1
b = 2
3(1) + 4(2) – 2c =0
3+ 8 – 2c =0
– 2c = – 3 – 8
– 2c = – 11
c=
c =
c = 5.5
= i + 2j + 5.5k
Comprobación
= 0
0 = 0
PRODUCTO VECTORIAL
Da como resultado un vector que es perpendicular a los vectores que lo generan. La magnitud del producto vectorial me representa el área del paralelogramo que tiene comolado a los vectores.
Sean los vectores:
= a1i + a2j+ a3k
= b1i + b2j+ b3k
X =




Sean los vectores:
= 3i + 4j 3k
= 2i + 5j+ 2k
X = =




X = =



Conclusión:
X no es igual X
Magnitud del producto vectorial
Otra forma de encontrar la magnitud del producto vectorial
sen θ dondeθ es el ángulo entre y
Si A = 2i + 4j + 3k
B = 2i 5k
Verificar
x = sen θ
Sabemos que
= cos θ


cos θ =

θ = arcos

=
=

=
=

. = 4 + 0
. =



Verificar
= sen θ
X = =





==
=
CONCLUSION
= sen θ es igual

La magnitud del producto vectorial representa el area del paralelogramo que tiene como aristas la magnitud de los vetores que lo generan.

Encontrar el area del paralelogramo que se genera con la magnitud de los siguientes vectores
A = 5i 4j + 2k
B = 4ij + k
X = =






Área=
=
=
=

PRODUCTO MIXTO
Este producto se da cuando se combinan el producto vectorial y el producto escalar. Y su resultado representa al volumen del paralelepipedo que se genera con la magntud de los tres vectores que se involucran.
Ejemplo
= a1i + a2j+ a3k
= b1i + b2j+ b3k
= c1i + c2j+ c3kGeometricamente








LA RECTA EN EL ESPACIO
Para poder graficar y encontrar la ecuacion de una recta en el espacio se necesita:
Un punto por deonde la recta pase P(a, b, c).
Un vector que sea paralelo a la recta.












ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO
Hay dos tipos de ecuaciones:
La parametrica
La simetrica
La ecuacion de la recta en forma parametrica que pasa por el punto ( x1, y1, z1) y quees paralela al vector r = a i +bj +ck es
x = x1 + at
y = y1+ bt
z= z1+c

Ejemplo
encontrar la ecuacion, la grafica y dos puntos adicionales a la recta que pasa por el punto (3, -2, 8) y que es paralelo al vector = 2i + j +2k+2k
x = 3 + 2t
y = -2 + t
z= 8 + 2t

Para encontrar puntos adicionales se le dan valores al parametro t
Cuando t = 1
x = 3 + 2(1) = 5
y = -2 + 1 = -1
z= 8 +...