vectores y grados de libertad

Ingenier´ Civil.
ıa
Matem´ticas I. 2012-2013.
a
Departamento de Matem´tica Aplicada II.
a
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 6.- Autovalores y autovectores.
6.1.- Autovalores y autovectores.
Definici´n y propiedades.
o
La ecuaci´n caracter´
o
ıstica.
6.2.- Diagonalizaci´n.
o
Matrices diagonalizables.
Matrices no diagonalizables.
6.3.- Matricessim´tricas reales.
e
Diagonalizaci´n. El teorema espectral.
o
6.4.- Aplicaciones del c´lculo de autovalores y autovectores.
a
Ecuaciones en diferencias.
C´nicas y cu´dricas giradas.
o
a
6.5.- Ejercicios.
Enunciados.
Soluciones.
A lo largo de todo el tema trataremos esencialmente con matrices cuadradas reales (aunque muchos de los resultados que veamos tambi´n ser´n v´lidos para el caso dematrices cuae
a a
dradas complejas). De todos modos, aun trabajando con matrices reales, ser´ imprescindible
a
hacer referencia a los n´ meros (y a los vectores) complejos. La raz´n es que necesitaremos
u
o
considerar las ra´
ıces de un polinomio con coeficientes reales (si la matriz es real) y ´stas
e
pueden ser complejas con parte imaginaria no nula.
Una matriz A cuadrada m × m define unatransformaci´n lineal sobre Km ,
o
x ∈ Km −→ y = Ax ∈ Km .

Aunque la matriz sea real, cuando algunas de las ra´ del llamado polinomio caracter´
ıces
ıstico
de A (que ser´ un polinomio real) sean n´ meros complejos, con parte imaginaria no nula,
a
u
ser´ conveniente referirnos a la transformaci´n definida por A sobre el espacio complejo Cm .
a
o
En estos casos, tendremos que considerarpara vectores complejos todos los aspectos lineales
que hemos considerado en el tema 4: combinaciones lineales, dependencia/independencia
lineal, subespacios vectoriales de Cm , dimensi´n, espacios nulo y columna, etc.
o
La transformaci´n de vectores que efect´ a la matriz A puede ser m´s o menos sencilla
o
u
a
de describir dependiendo del vector (o de la direcci´n) sobre la que se efect´e. El problema
o
u
fundamental que se aborda es el de la determinaci´n de las llamadas direcciones principales:
o
direcciones sobre las que la matriz A act´ a como la multiplicaci´n por un n´ mero. Calculemos
u
o
u
para algunos ejemplos geom´tricos en el plano y en el espacio, los vectores sobre los cuales
e
la transformaci´n asociada a una matriz act´ a simplemente multiplicando por unn´ mero.
o
u
u

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Tema 6.- Autovalores y autovectores.

Ejemplos.
(1) Consideremos la transformaci´n lineal en el plano consistente en la simetr´ respecto de
o
ıa
una recta r que pase por el origen de coordenadas. Aplicando esta transformaci´n sobre
o
un vector de dicha recta se obtiene el mismo vector y aplic´ndola sobre un vector de
a
la recta s perpendicular a r quepasa por el origen de coordenadas se obtiene el vector
opuesto. Los vectores (no nulos) de las rectas r y s se denominan vectores propios o
autovectores de la transformaci´n dada. Las rectas a veces se denominan direcciones
o
principales de la transformaci´n y los coeficientes λ1 = 1 y λ2 = −1, asociados a dichas
o
direcciones, se suelen denominar valores propios o autovalores.
(2)Consideramos un plano π que pase por el origen en el espacio R3 y la transformaci´n
o
3
3
3
3
lineal T : R −→ R que asocia a cada vector v ∈ R el vector T (v) ∈ R que se obtiene
al proyectar v (ortogonalmente) sobre el plano considerado. Si {v1 , v2 } son dos vectores
que generan el plano y v3 es un vector (no nulo) perpendicular al plano tenemos que
T (v1 ) = v1 , T (v2 ) = v2 , T (v3 ) = 0
conlo cual v1 , v2 y v3 son autovectores y los coeficientes respectivos 1, 1 y 0 son autovalores. Puesto que los vectores v1 , v2 y v3 forman una base de R3 , cualquier vector v ∈ R3 puede expresarse como combinaci´n de ellos y teniendo dicha expresi´n
o
o
v = αv1 + βv2 + γv3 es inmediato obtener T (v) como combinaci´n lineal de los vectores
o
v1 , v2 y v3 ,
T (v) = αT (v1 ) + βT (v2 ) + γT...