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CÁLCULO SUPERIOR.
SUPERFICIES Y SÓLIDOS.
PDF Interactivo (Versión 1.0)
Puede ver y manipular las figuras en 3D haciendo clic sobre ellas (necesita una conexión a Internet).

Prof. Walter Mora F.,
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica.
Marzo, 2011.

Contenido

Superficies y Sólidos.
2.1
2.2
2.3

Espacio tridimensional. Coordenadas cartesianas.
Funciones dedos variables
Curvas y superficies en R3
2.3.1
Curvas en el espacio.
2.3.2
Planos
2.3.3
Superficies cilíndricas o “cilindros”.
2.4
Superficies cuadráticas.
2.4.1
Curvas de nivel y trazas.
2.4.2
Cuádricas
2.5
Sólidos simples
2.5.1
Visualizando la intersección de dos superficies
2.5.2
Dibujo de sólidos simples
2.6
Proyección de un sólido
Bibliografía
Soluciones del Capítulo 23
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2.1

SUPERFICIES Y SÓLIDOS.

Espacio tridimensional. Coordenadas cartesianas.

Una vez que se ha especificado una unidad de medida, un número x ∈ R puede ser usado para
representar un punto en una línea, un par ( x, y) ∈ R2 se puede usar para representar un punto
en un plano,

(a) Punto en una línea

(b) Punto en elplano

Figura 2.1

De manera análoga, un triple ( x, y, z) ∈ R3 se puede usar para representar un punto en el espacio
tridimensional. Tomamos un punto fijo cualquiera O , llamado origen, y tres planos distintos,
mutuamente perpendiculares, que pasan por O. Los planos se intersecan en pares en tres rectas
(ejes) mutuamente perpendiculares que pasan por O llamadas X, Y y Z . Para hacer larepresentación en un plano podemos trazar el eje Y y el eje Z de frente y la parte positiva del eje X se
representa en una dirección aproximadamente sur-oeste, para simular profundidad (perpectiva).
Dibujamos ( x, y) en el plano XY y, desde este punto, dibujamos un segmento paralelo al eje Z
y orientado de acuerdo al signo de z y de longitud |z|, como se muestra en la figura (2.1, b). Si
tieneconexión a Internet, puede hacer clic en la figura, esto lo llevará a una página Web con un
’applet’ con el que se podrá hacer una idea más clara.

Cálculo Superior. Walter Mora F.
Derechos Reservados © 2011 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)

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SUPERFICIES Y SÓLIDOS.

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(b) Punto P= ( x, y, z)

(a) Coordenadas cartesianas
Figura 2.2

Ejemplo 1.
Los puntos en el eje X tienen coordenadas ( x, 0, 0), x ∈ R, los puntos en el eje Y tienen
coordenadas (0, y, 0), y ∈ R y los puntos en el eje Z tienen coordenadas (0, 0, z), z ∈ R. En la
figura que sigue se muestran cinco ejemplos de puntos en el espacio.
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)

Figura 2.3Puntos (2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3), (2, 1, 3) y (2, −1, 0) .

Planos XY, XZ y YZ. Los ejes coordenados determinan tres planos, el plano XY es el plano que

contiene el eje X y el eje Y, el plano XZ es el plano que contiene el eje X y el eje Z y el plano
YZ es el plano que contiene el eje Y y el eje Z.

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Z

Z

Y

XPlano XY

Z

Y

X

Y

X

Plano XZ

Plano YZ

El primer octante. Los planos XY, XZ y YZ dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes.

El primer octante corresponde a la parte positiva de los ejes.

. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)

(a) Octantes

(b) Primer octante

(c)
octante

Habitación-primer

Vistas isométricas de un punto.Considere el punto Px,y,z = ( a, b, c) en el espacio tridimensional,

se define la vista de este punto en el plano XY como el punto Px,y = ( a, b, 0). Análogamente se
define la vista en el plano YZ como Py,z = (0, b, c) y la vista en el plano XZ como Px,z = ( a, 0, c).
En la siguiente figura se muestra una manera de utilizar las vistas como una guía para la mejor
comprensión de objetos 3D.

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