VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

VIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO
Cuando se excita un sistema lineal con un grado de libertad, su respuesta dependerá del tipo de excitación y del amortiguamiento que esté presente. La ecuación del movimiento será de la forma
(2.3-1)
En donde es la excitación y la fuerza deamortiguamiento. Aunque la descripción real de es difícil, se pueden utilizar modelos ideales de amortiguamiento que a menudo permitirán una satisfactoria predicción de la respuesta. Entre tales modelos, la fuerza de amortiguamiento viscoso, proporcional a la velocidad, es la que permite el tratamiento matemático más simple.
La fuerza de amortiguamiento viscoso se expresa como:(2.3-2)
En donde es una constante de proporcionalidad. Simbólicamente se la representa por medio un cilindro-pistón como en la Fig. 2.3-1. La ecuación de movimiento es:
(2.3-2)
La solución de la ecuación anterior tiene dos partes. Si F(t) = 0, tenemos una ecuación diferencial homogéneacuya solución corresponde físicamente a la vibración libre amortiguada. Con F(t)≠0, obtenemos la solución particular que es caracterizada por la excitación, independientemente de la solución homogénea. Examinaremos primero la ecuación homogénea que nos dará algún entendimiento del papel que desempeña el amortiguamiento.
El método tradicional para la ecuación(2.3-3)
Es suponer una solución de la forma
(2.3-3)



Fig. 2.3-1
En donde s es una constante. Sustituyendo en la ecuación obtenemos

Que satisface para todos los valores det cuando
(2.3-6)
La Ec. (2.3-6), conocida como la ecuación característica, tiene dos raíces
(2.3-7)
La solución general está dada por(2.3-8)
En donde A y B son constantes que deben evaluarse por medio de las condiciones iniciales y . La Ec. (2.3-7) sustituida en (2.3-8) nos da:
(2.3-9)

El primer término es simplemente una función decreciente exponencialmente con el tiempo. El comportamiento de los términos entre paréntesis depende, sin embargo de si losvalores numéricos dentro del radica l son positivos, nulos o negativos.
Cuando el término del amortiguamiento es mayor que k/m, los exponentes en la ecuación de arriba son números reales y no hay oscilaciones posibles. Nos referimos a este caso como sobre-amortiguamiento.
Cuando el término es menor que k/m, el exponente se vuelve imaginario y como:

Los términos de la Ec. (2.3-9), dentro delparéntesis, son oscilatorios. Este es el caso sub-amortiguado.
Como caso límite entre los dos, definimos amortiguamiento crítico como el valor de e que anula el radical.
Es ahora aconsejable examinar éstos tres casos en detalle y en términos de cantidades que se usan en la práctica. Comenzamos por el amortiguamiento crítico.
Amortiguamiento critico: para amortiguamiento critico , el radical de laEc. (2.3-9) es cero.

(2.3-10)
Es conveniente expresar el valor de cualquier amortiguamiento en términos del amortiguamiento crítico utilizando la razón adimensional.
(2.3-11)
Que se conoce como razón de amortiguamiento. Expresamos ahora las raíces de la Ec. (2.3-7) en términos 𝜁 notando que

La...