Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Indeterminados

Para resolver un sistema de ecuaciones por el teorema de coeficientes indeterminados tenemos dos métodos para la resolución del mismo. El primer método es el Método de Superposición y el segundo es llamado Método del Anulador.
A continuación seguiremos a explicar cada uno de ellos.

Método de Superposición
Este método nos permite encontrar una solución particular yp(x) para lasecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma:




Donde a, b, c son constantes y






El método es aplicable también cuando la función




Consiste de una suma y productos finitos de funciones polinomiales, exponenciales, trigonométricas. Asimismo, pueden considerarse ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes de orden superior.
El enfoque delmétodo de coeficientes indeterminados que se presenta esta esencialmente basado en tres principios u observaciones que la práctica de derivación de funciones nos ha enseñado. Y los tres principios son:

1.-Cuando derivamos un polinomio, el grado de éste disminuye en uno.
Si g(x) = bkxk+bk-1xk-1 +…..+b1X+bQ entonces g‘(x) = kbkxk-1 + (k-1)bk-1xk-2 +…… + b1.
Evidentemente si derivamos dosveces p, su grado disminuye en dos.

2.- Al derivar una función exponencial, la función "casi no cambia". Si g(x) = eax
Entonces g'(x) — aeax — ag(x). La derivada es casi la función g (salvo por la constante multiplicativa a).

3.-Si derivamos g{x) = sen mx pasamos al coseno: g'{x) = m cos mx.
Si derivamos g{x) = cos mx pasamos al seno: g'{x) = —m sen mx.
Si derivamos dos veces g{x) =sen mx regresamos casi a g(x), g"(x) =-m2 senmx.
Si derivamos dos veces g(x) = cos mx regresamos casi a g(x), g"{x) = -m2cosmx.

Luego, es razonable pensar que una solución particular tendrá la misma
forma que g(x), excepto cuando g es una solución de la ecuación homogénea.
En esencia, el método consiste en proponer una solución particular que
contenga uno o más coeficientes desconocidos.Entonces sustituimos esta solución propuesta en la ecuación diferencial y escogemos los coeficientes de tal manera que la función efectivamente satisfaga la ecuación.
Algunos casos especiales para hallar una solución particular , dependiendo de la forma de g{x).

CASO I. g(x) = Pn(x) = anxn + an-1xn-1+ …+ a1x + a0.
En este caso la ecuación diferencial toma laforma:




Proponemos una solución particular de la forma:



Sustituyendo yp, y'p y y´´p en



Resulta:



O equivalentemente:


y comparando coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones:









Si c ≠ O de la primera ecuación determinamos An y de las restantes los demás coeficientes.
Si c =0 pero b≠0, el polinomio en el miembro izquierdo es de grado n — 1 y dichaecuación no puede satisfacerse. Así que si c = 0 proponemos:



y procedemos como antes para determinar An , An-1 , . . . , A0. Nótese además que si c = 0
una constante es solución de la ecuación diferencial homogénea. Si tanto b = 0 como c = 0 (1 y x son soluciones de la homogénea), se propone:



Aunque ahora la ecuación diferencial puede integrarse directamente.


CASO II.g(x) = eaxPn(x), donde Pn(x) es un polinomio de grado n.

Tenemos ahora la ecuación


Son posibles los siguientes subcasos.
a) a no es una raíz de la ecuación auxiliar

En este caso, es preciso hallar una solución particular de la forma:



En efecto, introduciendo yp, y'v y y^ en





y dividiendo por eax se sigue que:



Ya que grado (Qn(x)) = n, grado(Qn´(x)) = n -l y grado(Qn´´(x)) = n - 2, los
polinomios en ambos miembros son de grado n. Igualando los coeficientes
de las mismas potencias de x se obtiene un sistema de n+1 ecuaciones que determina
los valores de An, A n-1, . . . , A0.


CASO III. g{x) = P(x)eax Cos βx + Q(x)eax sen β x, donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Podemos examinar este caso en forma análoga al caso II, usando que:...