N mero racional

Número racional

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).
Número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo;1 es decir, una fracción común  con numerador  y denominador  distinto de cero. El término «racional» alude a una fracción o parte de un todo.El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien , en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros (), y es un subconjunto de los números reales ().
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos enbase 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expresión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinitaaperiódica. 2
Ensentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre .
Construcción formal[editar]
Véansetambién: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción, por ejemplo:

Para poderdefinir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:
[Contraer]Demostración

De esta manera , es decir que el conjunto de los números racionales es elcociente  por la relación de equivalencia.
Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

Clase de equivalencia[editar]
Sea el conjunto  de pares ordenados de números enteros, con la segunda componente distinta de 0.
Diremos que (a,b) R (c,d) s.s.s. ad = bc; en este caso R es una relación de equivalenciaen el conjunto H. De tal modo que la relación de equivalencia R determina en H una partición y a cada elemento del conjunto cociente H/R se llama número racional; en este contexto, un número racional es una clase de equivalencia.
Por ejemplo,  es la clase de equivalencia del número racional conocido como 1/2 .
Representante canónico se llama al par (a,b)si el m.c.d (a,b)= 1. cualquier otro par seusa en el caso de operaciones. Al sumar 1/2 con 2/3 se les reemplaza respectivamente por 3/6 y 4/6. 3
Aritmética de los números racionales[editar]

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
Propiedades algebraicas[editar]
Suma[editar]
Se define la suma 
que es
Asociativa. 
Conmutativa. 
Existe el elemento neutro:  tal que  para cualquier . Se nombracero y se denota 0.
Elementoopuesto. Para cualquier número racional  existe , llamadoelemento opuesto, tal que 
Diferencia. La ecuación  tiene como solución 
La diferencia .
La operación que a todo par de números racionales, le hace corresponder su diferencia se llama resta y se la consideraoperación inversa de la suma. 4
Multiplicación[editar]
Se define la multiplicación 
Asociativa
Conmutativa
Existe elemento neutro...