Álgebra i preparatoria 2do semestre

Institución: Universidad Autónoma de Querétaro, Escuela de Bachilleres Salvador Allende.
Semestre: 2.
Grupo: 15.
Materia: Matemáticas II.
Unidad: III Desigualdades y funciones.
Maestro: Ing. José Luis Velázquez Cabrera.

♥ 1. Concepto de desigualdad y axiomas de orden.
Axiomas de orden:
El conjunto de los números reales tiene un subconjunto, llamado conjunto de números realespositivos R+ el cual satisface los siguientes axiomas.
Axioma 1.7 a, b en R+ => a+b, ab en R+
Axioma 1.8 Si a está en R y a ≠ 0 entonces una de las dos condiciones de cumple a ∈ R+ o -a ∈ R+ .
Axioma 1.9 El número 0 no está en R+
Si un número no es positivo ni 0 se dice que es negativo, o sea que un número a es negativo si -a es positivo por el axioma 2.8.
Existe otra forma muy popular en nuestrosdías de presentar el orden en los números reales por medio de desigualdades directamente sin hacer mención a los axiomas, se toma a < b como una relación entre dos números que satisface cuatro propiedades. Una de las ventajas de presentar el tema como se hace aquí es que bastan tres propiedades en lugar de cuatro, además cuando se usan desigualdades queda la relación < sin definir, incluso haylibros que lo definen en términos de números positivos así que se cae en una inconsistencia o en la necesidad de definir conjunto de números positivos. Por lo tanto por razones heurísticas es mejor considerar las propiedades de orden de esta manera.
Definición Desigualdad.
Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a < b si b﷓·a es positivo. Similarmente,decimos que a “es mayor que b” y se representa a > b cuando b < a. La relación a < b significa que a < b ó a = b; y a > b significa que a > b ó a = b.
Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0.
Nota Los axiomas se llaman de orden porque si consideramos la relación menor o igual en base a la definición anterior seobtiene una relación que cumple las condiciones de relación de orden. Incluso es un orden total.
 
♥ 2. Teoremas relativos a las desigualdades.
Una desigualdad matemática es una expresión matemática en la que ambos miembros no son equivalentes entre sí (lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.
En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "es mayor que" o "es menorque". El primero es > y el segundo <. También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < st="on">como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que estaexpresión es verdadera.

TEOREMAS

Teorema 1: propiedad transitiva
(a,b,c,) є R
Si a > b y b > c entonces a > c

Teorema 2: Suma
(a,b,c,) є R
Si a > b , entonces a + c > b + c

Teorema 3: Multiplicacion por un numero positivo
Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

Teorema 4:
(a, b, c ,d) є R
Si a > b y c > d entonces
(a + c) > (b + d )

Teorema 5:
a єR
a> 0 si, y solamente si, -a <>

Teorema 6:
(a, b) єR
a > b si, solamente si, -a < -b “Si se cambia el signo de ambos miembros de una desigualdad Se cambia el sentido de la desigualdad “ Teorema 7: Si a > b y c > 0 entonces
ac > bc

Teorema 8:
Si a ≠ 0 entonces
a > 0

Teorema 9:
a > 0 si, y solamente si, 1/a > 0

Teorema 10:
Si a > b y c > 0,entonces a/c > b/c

Teorema 11:
Si a > b y c > 0, entonces a/c <>
Si a <>

♥ 3.Concepto y ejemplos de desigualdad absoluta y desigualdad condicional.
Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.

Desigualdad absoluta es...