Álgebra conjuntos

Algebra
Conceptos
Conjuntos
Teoría de conjuntos:
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
Intersección:
En teoría de conjuntos, laintersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida.
Unión:
En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales.
Conectivos:
1.3 Conectivos Lógicos
A partir de proposiciones simples esposible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos. A continuación vemos una concreta definición de cada uno:
Símbolo
Operación asociada
Significado
~






Negación
Conjunción o producto lógico
Disyunción o suma lógica
Condicional
Bicondicional
Disyunción ExclusivaConjunción Negativa
no es cierto que
y
o (en sentido incluyente)
implica ( entonces )
si y sólo si
o (en sentido excluyente)
ni
1.4 Operaciones Proposicionales
Consiste en caracterizar una proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, se estudia a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba.
Cabe recalcar elnúmero de posibles combinaciones que se puede obtener entre proposiciones está dado por: 2n. Así, si tenemos dos proposiciones, el número de casos a analizar será 22 es decir 4 caso
s, para tres proposiciones tendremos 23 (8 casos) y así sucesivamente.
1.4.1 Negación
Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor deverdad opuesto al de p. Por ejemplo:
p: Diego estudia matemática  
~ p: Diego no estudia matemática
Obteniéndose la tabla de verdad:
p
~ p
V
F
F
V
Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa.
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.
Ejemplo: La negación de " p: todos losalumnos estudian matemática" es                 
~ p: no todos los alumnos estudian matemática
o bien:          
~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática
~ p: hay alumnos que no estudian matemática
1.4.2 Conjunción
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p  q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:
p
q
p  q
VV
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
 
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.
Ejemplo:
Se ve que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas esverdadera.
 
Ahora, sea: Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de 5 de noviembre
Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones.
 
1.4.3 Conjunción Negativa
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción negativa de estas proposiciones a la proposición p  q (se lee "ni p ni q"), cuya tabla de verdad es:
p
q
p q
V
V
F
F
VF
V
F
F
F
F
V
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción negativa es verdadera sólo si son falsas las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.
Ejemplo:
P

 Q
ni 4 es un número primo  ni 10 es impar
 
Donde:
p: 4 es un número primo
q: 10 es un número impar
Por ser ambas falsas, la conjunción negativa  de ellas es verdadera.
 
1.4.4...