Álgebra

1. En el espacio vectorial real R4 se consideran los subespacios U y W, definidos como sigue: U={(x,y,z,t): x=y=z=t}
W ={(x,y,z,t): x+ay+z+t=0}. Se pide, en funci ́on delvalor de a:
(a) Obtener una base y la dimensi ́on de U y de W .
(b) Calcular la suma U + W y la intersecci ́on U ∩ W . Razonar si los subespacios son suplementarios.
(c)Calcular unas ecuaciones impl ́ıcitas de un suplementario de U en la base
B′ = {(1,0,0,0),(1,−1,0,0),(0,0,1,−1),(0,0,2,1)}.
(d) Obtener la matriz de cambio de base de labase can ́onica C a B′ y tambi ́en la matriz de cambio de base de B′ a C. Hallar las coordenadas del vector (1, 0, 2, 1) en la base B′.
2. Sea f : V −→ V ′ la aplicaci ́onlineal entre los espacios vectoriales V y V ′, que respecto de sus correspon- dientesbasesB1 ={v1,v2,v3}deV yB1′ ={v1′,v2′,v3′,v4′}deV′ tienecomomatrizasociada:
aaa   02 a 0  
a3a a
a a 2a−1
donde a ∈ R. En este contexto, se pide:
(a) Obtener una base de Ker(f) y unas ecuaciones impl ́ıcitas de Im(f) en funci ́on de los posiblesvalores
del par ́ametro a.
(b) Discutir si f es un monomorfismo o un epimorfismo en funci ́on de los posibles valores del par ́ametro
a ¿Podr ́ıa ser un isomorfismo en algún caso?
(c) Obtener la matriz asociada respecto de las bases B2 = {2v1 − v2, v2 + v3, −v3} de V y B2′ = {v1′ −
v2′ ,v1′ ,v4′ ,v3′ + v4′ }.
(d) Calcular la imagen rećıproca del conjunto {(b, 2, 3, 1)}, cuando a = 1, segu ́n los posibles valores de
b ∈ R.
3. Real ́ıcese un estudio sobre las ecuaciones en diferencias, analizando suclasificaci ́on, el c ́alculo de sus
soluciones y su utilidad para generar modelos de las Ciencias y la Ingenier ́ıa.
Fecha l ́ımite de presentaci ́on: 3 de diciembre de 2012.