Álgebra

El '''álgebra lineal''' es una de las ramas de las [[matemáticas]] que estudia conceptos tales como [[vector]]es, [[Matriz (matemática)|matrices]], [[Sistema de ecuaciones lineales|sistemas de ecuaciones lineales]] y en un enfoque más formal, [[espacio vectorial|espacios vectoriales]] y sus [[transformación lineal|transformaciones lineales]].

Es un área activa que tiene conexiones con muchasáreas dentro y fuera de las matemáticas como [[análisis funcional]], [[ecuación diferencial|ecuaciones diferenciales]], [[investigación de operaciones]], gráficas por computadora, [[ingeniería]], etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de [[1843]] cuando [[William Rowan Hamilton]] (de quien proviene el uso del término ''vector'') creó los [[cuaternión|cuaterniones]]; yde [[1844]] cuando [[Hermann Grassmann]] publicó su libro ''Die lineare Ausdehnungslehre'' (''La teoría lineal de extensión'').

== Conceptos básicos ==
[[Archivo:Suma de vectores.svg|thumb|Representación gráfica de la suma de dos vectores en \mathbb{R}^2.]]
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial \mathbb{R}^{n}(conocido también como ''espacio vectorial real de dimensión ''n'', es decir, un espacio formado por [[vector]]es de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso.

Los ''objetos básicos'' de estudio son las ''n''-tuplas ordenadas de números reales (x_1, x_2,\ldots, x_n) que se denominan '''vectores''' y el conjunto de todos los vectores con ''n'' elementos formaun espacio vectorial \mathbb{R}^{n}.

Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio \mathbb{R}^3 y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de \mathbb{R}^5. En particular, \mathbb{R}^2 corresponde a un [[plano cartesiano]] ''XY'' y \mathbb{R}^3 es el [[espacio euclidiano]] provisto de un [[sistema de coordenadas]] ''XYZ''.

Las ''operaciones básicas'' entre los vectores (en lo queconcierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.

El producto por un escalar en \mathbb{R}^{n} sigue la regla:
{{Ecuación|r \cdot (x_1, x_2,\ldots, x_n)=(rx_1, rx_2,\ldots, rx_n).}}

La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si \ r es mayor o menor de 1),junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si \ r es mayor o menor de 0).

Las funciones \ T de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes con la ''operaciones básicas'' para todo par de vectores \mathbf{u,v} y todo escalar \ r:{{Ecuación|T(\mathbf{u+v})=T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),\qquad T(r\cdot \mathbf{u})=r\cdot T(\mathbf{u}).}}
Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan ''transformaciones lineales'' y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio \mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m} que son las matrices de números reales de tamaño n\times m.

El álgebralineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma ''Au=v'' (donde ''u,v'' son vectores y ''A'' es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.

== Contexto general ==
De manera más formal, elálgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de [[campo escalar|campo]], con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).(métodos cuantitativos).

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