Área bajo curvas

BACHILLERATO GENERAL OFICIAL MATUTINO
CADETE JUAN ESCUTIA
CÁLCULO INTEGRAL
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE ÁREAS DE
FIGURAS IRREGULARES LIMITADAS POR CURVAS

MTRO. ROMÁN SERRANO CLEMENTE

OCTUBRE 2014.
MTRO. ROMÁN SERRANO CLEMENTE

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INTRODUCCIÓN
Uno de los grandes problemas que dieron
el origen al estudio del Cálculo fue la
obtención de áreas de figuras limitadas
por curvas.

Hasta ahora, por mediode fórmulas, se
pueden calcular el área de triángulos,
rectángulos, polígonos regulares y círculos,
pero ¿Cómo obtendrías el cálculo el área de
un polígono no regular como el de la
siguiente figura?
Anota tu idea:

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A las áreas de superficies que están limitadas por segmentos rectilíneos les
llamaremos figuras rectilíneas.

Fíjate ahora en la siguiente figura,¿Cómo obtendrías su área?

Anota tus ideas:

El área de una figura limitada por una curva, la llamaremos figura curvilínea.

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ANTECEDENTES

HISTÓRICOS

El inicio de la integración se puede trazar
en Egipto en el 1800 a.C. con el papiro de
Moscú, donde se conocía la fórmula de el
volumen de un tronco piramidal

El filósofo Brison, contemporáneo de Sócrates, trató decalcular el área de un
circulo por medio de polígonos regulares inscritos y circunscritos al círculo. Este
legendario método se conoce como proceso de reducción, porque a medida que
el número de lados de un polígono aumenta, la diferencia entre las áreas de
éstos se va reduciendo.

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EUDOXO
El primer paso en el cálculo se atribuye a Eudoxo, año 370 a. c., quien proponeun
método para calcular áreas y volúmenes, conocido como método de exhaución.
Éste método consistía en aproximar más y más las áreas de los círculos mediante
polígonos regulares.

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El término exhaución proviene del hecho de
que los polígonos regulares inscritos
«exhaustan» (agotan) el círculo. Sin embargo
éste término no fue usado por los griegos si
no por losmatemáticos del siglo XVII.
Realiza la ACTIVIDAD 3 (polígonos inscritos de diversos lados)

ARQUÍMEDES
Arquímedes, utiliza el método de Eudoxo para calcular el área de una parábola.
Consistió su método en usar figuras rectilíneas, tanto inscritas como circunscritas
para «agotar» el áreas y volumen de la figura.

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El método trataba en APROXIMAR el área de la figuratanto por dentro como por
fuera a través de figuras fáciles de medir. Repitiendo una y otra vez el proceso
hasta acercarse más y más al área de la figura.

Realiza la ACTIVIDAD 4, propuesta por el docente. Sigue las instrucciones y
anota las conclusiones respectivas.

SIGLO

XVII

Los trabajos en este siglo acerca del cálculo de áreas comenzó con Johannes
Kepler, quien consideró el área de un círculocomo la suma de las áreas de un
numero infinito de triángulos, cada uno con vértice en el centro del circulo y
una base en la circunferencia.
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Galileo Galilei en su obra Dos Nuevas Ciencias, considera las áreas en una forma
similar a Kepler, al tratar el problema del movimiento uniformemente acelerado,
da argumentos para mostrar que el área trazada bajo la curvatiempo – velocidad
es igual a la distancia recorrida.

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Bonaventura Cavalieri, impulsado por los estudios anteriores, consideraba que
un área estaba compuesta de un numero indefinido de segmentos rectilíneos
paralelos equidistantes y un volumen estaba compuesto de un número
indefinido de áreas planas paralelas. A éstos los llamo indivisibles del área y del
volumen,respectivamente.

Roverbal, en 1634, uso esencialmente el método de indivisibles para encontrar
el área bajo un arco de la cicloide.

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Otro de los contribuyentes al nacimiento del Cálculo fue Grégoire de Saint –
Vicent, quien tuvo como una de las aportaciones mas valiosas consistió en
descubrir que el área bajo una hipérbola se expresaba mediante logaritmos....