03 Matrices

NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Sea el siguiente sistema de m ecuaciones lineales con m incógnitas:
a11 x1
a21x1
⋮
am1x1

+ a12x2 + .....+ a1n xn = b1 
+ a22x2 + .....+a2n xn = b2 

⋮
......
⋮

+ am2 x2 + .....+ amnxn = bm 

Podemos asociarle las siguientes matrices:
MATRIZ DE LOS COEFICIENTES
A









a11
a 21

a12
a 22

⋮

⋮

a m1

am 2a1n 

a2n 
...... ⋮ 

...... a mn 
......
......

A*

MATRIZ AMPLIADA









a11

a12

......

a1n

a 21

a 22

......

a2 n

⋮

⋮

......

⋮

a m1

am 2

...... a mn

b1 
b2 
⋮ 

bm 

Si aplicamos esta notación matricial a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas,
podemos utilizar el método de Gauss para resolverlo:

x -

y + 2z = 5

2x - 4y +3z = 11
3x + 3y -

z = 2

MATRIZ DE LOS COEFICIENTES A

 1 −1 2 


 2 −4 3 
 3 3 − 1



MATRIZ AMPLIADA

A*

 1 −1 2 5 


 2 − 4 3 11 
 3 3 −1 2 


Juan Luis ChamizoBlázquez

1

Resolvemos por el método de Gauss, utilizando las operaciones elementales entre filas:

CAMBIAR EL ORDEN DE FILAS.
MULTIPLICAR UNA O MÁS FILAS POR UN NÚMERO REAL DISTINTO DECERO.
SUMAR A UNA FILA OTRA MULTIPLICADA POR UN NÚMERO REAL

 1 −1 2 5  E'2 = E2 − 2E1  1 −1 2 5 
 E'3 = E3 − 3E1 


E'3 = E3 + 3E2
→  0 −2 −1 1  
→
 2 −4 3 11 
 33 −1 2 
 0 6 −7 −13





5 
 1 −1 2


 0 −2 −1 1 
 0 0 −10 −10



El sistema asociado a esta matriz es:
x −
y + 2 z
− 2 y −
z
− 10 z

= 5
= 1

 Despejamos el valor de zen la última ecuación: − 10 z = − 10 → z = 1


Utilizamos este valor de z y lo sustituimos en la segunda ecuación:
= − 10 
−2 y − 1 = 1 → −2 y = 2 →

y = −1

Utilizamos los valores de zy de y, y los sustituimos en la primera ecuación:

x −

(−1)

+ 2 = 5 → x = 5 − 1 − 2 → x = 2

La solución del sistema es pues:

x = 2

y = -1
Juan Luis Chamizo Blázquez

z = 1
2...