04 Continuidad

CAPÍTULO

4
Continuidad

1

OBJETIVOS PARTICULARES
1. Comprender el concepto de continuidad de una función en un punto.
2. Determinar y clasificar las discontinuidades de una función.
3. Bosquejar la gráfica de funciones continuas y discontinuas.
4. Determinar los valores apropiados de ciertos parámetros que aseguran la continuidad en un
punto para una función definida por partes.
5. Comprenderel concepto de continuidad de una función en intervalos.
6. Aplicar el teorema del Valor Intermedio para la existencia de raíces de una función continua.

4.1 Continuidad en un punto
Consideremos la gráfica de cierta función y D f .x/:
y

4
 ✁

 ✁

y D f .x/

 ✁

3
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

x

2

Cálculo Diferencial e Integral I

Obsérvese lo siguiente:
1. lím f .x/ D lím f .x/ D 4, porlo cual lím f .x/ D 4. El límite existe.
x!3

x!3C

x!3

2. f .x/ no está definida para x D 3. Esto es, f .3/ no existe.
3. La gráfica de f tiene una interrupción en el punto de abscisa x D 3.
Decimos que la función no es continua en x D 3.

Consideremos ahora la siguiente gráfica:
y

5
4

☎

y D f .x/

✂✄

✂✄

✂✄

x

3

Obsérvese lo siguiente:
1. lím f .x/ D lím f .x/ D 4, por lo cual lím f .x/D 4. El límite existe.
x!3

x!3C

x!3

2. f .x/ D 5 para x D 3. Esto es, f .3/ D 5; x D 3 está en el dominio de f .x/.
3. La gráfica de f tiene una interrupción en el punto de abscisa x D 3. Decimos que la función
no es continua en x D 3.
¿Cuando una función f es continua en un punto?
Una función f es continua en x0 2 R si
lím f .x/ D f .x0 / :

x!x0

Es decir, para que una función f sea continuaen un punto x0 necesariamente x0 debe pertenecer
al dominio de f , y debe existir el lím f .x/ y precisamente tiene que ser f .x0 /.
x!x0

Observemos que si una función f es continua en x0 y tomamos x1 , x2 2 Df cerca de x0 , entonces
f .x1 / y f .x2 / están cerca de f .x0 / y por lo tanto próximos entre sí, lo que se verbaliza diciendo: un
cambio pequeño en x produce un cambio pequeño en f .x/.2

4.1 Continuidad en un punto

3
y
f .x1 / y f .x2 / cerca de f .x0 /
f .x2 /
f .x0 /
f .x1 /
✆

✆

x1 y x2 cerca de x0
x
✆

x1 x0 x2

La continuidad es pues una ausencia de cambios bruscos. Como se dice tradicionalmente: una
función es continua en un punto si en dicho punto la gráfica de la función no presenta interrupciones
o saltos, esto es, cerca del punto se puede dibujar la gráfica de lafunción sin levantar el lápiz del
papel.

Ejemplo 4.1.1 Dada la función f .x/ D

1.

a. ¿Pertenece x0 D

x

C4


2




3

si x < 2I
si x D 2I

2
1
x




1



1 x

si

2 < x < 1I

si x D 1I

si x > 1 :

2 al dominio de f ?

b. ¿Existe lím f .x/?
x! 2

c. ¿Es lím f .x/ D f . 2/? ¿Es f continua en x0 D 2?
x! 2

2.

a. ¿Pertenece x0 D 1 al dominio de f ?

b. ¿Existe lím f .x/?
x!1

c.¿Es lím f .x/ D f .1/? ¿Es f continua en x0 D 1?
x!1

H Graficamos primero la función
y

3
✝

y D f .x/
1
✞

1
✟✠

2

x

3

4

Cálculo Diferencial e Integral I
1.

a. f . 2/ D 3, por lo cual x0 D

2 sí pertenece al dominio de f .

b. Como la regla de correspondencia es distinta si x <
límites laterales en x0 D 2.

2, calculamos los


x
2
lím f .x/ D lím
C4 D
C4D 1C4D3 
x! 2
x! 2 2
2
)
lím f .x/D lím .x 2 1/ D . 2/2 1 D 4 1 D 3 

x! 2C

)

2 o bien si x >

x! 2

lím f .x/ D 3 D lím f .x/ ) lím f .x/ D 3, el límite existe.
x! 2C

x! 2

x! 2

c. Como lím f .x/ D 3 y como f . 2/ D 3, entonces sí se cumple que
x! 2

lím f .x/ D f . 2/:

x! 2

Por lo tanto f es continua en x0 D 2.
2.

a. f .1/ D 1, por lo cual x0 D 1 sí está en el dominio de f .

b. Análogamente al inciso 1.(b) anterior,calculamos los límites laterales en x0 D 1.
lím f .x/ D lím .x 2

x!1

x!1

lím f .x/ D lím .1

x!1C

x!1

1/ D 12

x/ D 1

1D0

1D0

)

) lím f .x/ D 0 D lím f .x/ ) lím f .x/ D 0, el límite existe.
x!1

x!1C

x!1

c. Como lím f .x/ D 0 y como f .1/ D 1, entonces lím f .x/ ¤ f .1/. Por lo tanto la igualdad
x!1

x!1

lím f .x/ D f .1/

x!1

no se cumple y por ende f no es continua en x0 D 1....