09 02 MA262 Integraci N Trigonom Trica

CÁLCULO 1 (MA262)
SESIÓN 9.2 INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA
n
m
 sen x cos x dx

Aquí consideramos el problema de evaluar
muchas integrales trigonométricas mediante
ciertas estrategias.

II

ESTRATEGIAS

EJEMPLO 2:

I

 cos

2 n 1

5
2
Evalué la integral  sen x cos x dx

dx ,  sen 2 n1dx

Solución

Si n es un entero positivo.

 cos

2 n 1

x dx   cos 2 n x cos x  dx

2
 cos x  cosx  dx
n

cos 2 x  1  sen 2 x

 sen

2 n 1

x dx   sen 2 n x sen x dx

 sen x  sen x dx
2

Si n o m en un entero positivo e impar.

n

sen x  1  cos x
2

2

5
2
 sen x  cos x  dx

4
2
 sen x  cos x  senx d x
2
2
 sen x  cos x  senx d x
2

2
2
 1 - cos x  cos x  senx d x
2

u  cosx  du  senxdx  senxdx  du

 1 - u

 u  du    1 - u  u du
 1-2u  u  u du
  u  2u  u  du

2 2

2 2

2

2

2

EJEMPLO 1:

Solución
3
2
 cos x dx   cos x cos x dx
2
 1  sen x  cos x dx

 1  u  du
2

u

III

n
n
 cos dx ,  sen dx

Si n es entero positivo y par.
2n
2
 cos x dx   cos x  dx
n

2n
2
 sen x dx   sen x  dx
n

u3
C
3

Utilizaremos las identidades:

  cos 3 x dx senx 

3

sen x
C
3

4

4

2

6

u 3 2u 5 u 7


C
35
7
cos 3 x 2 cos 5 x cos 7 x



C
3
5
7


Evalué la integral  Cos 3 x dx

u  senx  du  cos xdx

2

1  cos 2 x 
2
1  cos 2 x 
cos 2 x 
2

sen 2 x 

EJEMPLO 3:

x cos m x dx

Si n y m son enteros positivos y pares.

0

EJEMPLO 5:

Solución

 1  cos2 x  
2
 dx
 sen x dx   
2

0
0


1
  1  cos2 x  dx
20

1
sen 2 x 
 x

2
2  0







1 
sen2  
sen0 
   
  0 

2 
2  
2 




0

2

  sen 2 x dx 

n



2
Evalué la integral  sen x dx



 sen

IV

Evalué la integral  sen 2 x cos 2 x dx
Solución
2
2
 sen x cos x dx

 1  cos2 x   1  cos2 x  

 dx
2
2






 1  cos 2 2 x  
 dx
 
4



1
1  1- cos4 x  
sen 2 2 x  dx   
 dx

4
4 
2


1
  1  cos4 x  dx
8

1sen 4 x  
 x
C
8
4 

EJEMPLO 4:
4
Evalué la integral  sen x dx
n
V  tan x  dx

Solución

4
2
 sen x dx   sen x  dx
2

Si n es entero positivo mayor igual a 2.

 1- cos2 x  
 
 dx
2


2

Utilizamos la identidad: tan x  sec x  1
2

 1-2 cos2 x   cos 2 2 x  
 dx
  
4


1
  1-2 cos2 x   cos 2 2 x  dx
4







1 
1  cos4 x  
1-2 cos2 x 
 dx

4 
2


1 3
cos4 x  
 -2 cos2 x  
 dx

4 2
2 
1  3x 2sen2 x  sen4 x  
  
C
4 2
2
8 


2

EJERCICIO 6:
4
Evalué la integral  tan x dx

Solución
4
2
2
 tan x dx   tan x tan xdx
  tan 2 xsec 2 x  1 dx
  tan 2 x sec 2 x dx   tan 2 xdx
  tan 2 x sec 2 x dx   sec 2 x  1dx

u  tanx  du  sec 2 xdx
  u 2 du   sec 2 xdx   dx

u3
 tan x  x  C3
tan 3 x
  tan 4 x dx 
 tan x  x  C
3


VI

m
n
 tan x  sec x dx

2
6
4
2
6
 u  1 u du   u  2u  1 u du
2



 tan

m



  u10  2u 8  u 6 du

Si n es entero positivo y par.

11

9

7

u
2u u

 C
11
9
7
11
9
sec x 2 sec x sec 7 x



C
11
9
7


x secn2 x sec2 xdx

sec 2 x  tan 2 x  1
EJEMPLO 7:
Evalué la integral  tan 6 x sec 4 x dx
Solución
6
4
6
2
2
 tan xsec x dx   tan x sec x sec x dx
  tan 6 xtan 2 x  1sec 2 x dx

u  tanx  du  sec 2 xdx
  u 6 u 2  1 du





  u u
8



6

EJEMPLO 9:
Evalué la integral  sec x dx
Solución

 sec x  tan x 
 sec x dx   sec x  sec x  tan x  dx


 sec 2 x  sec x tan x 
 dx
  
 sec x  tan x 
u  secx  tan x

 du

u9 u7
 C
9
7
9
tan x tan 7 x


C
9
7


VII

m
n
 tan x sec x dx

Si m es entero positivo e impar.
m1
n 1
 tan x  sec x tan x sec x dx

tan 2 x  sec 2 x  1
EJEMPLO 8:
5
7
Evalué la integral  tan x sec x dx

Solución

 tan x sec x dx
4
6
 tan x sec x tan x sec x dx
5

7

2
6
 tan x  sec x tan x sec x dx
2

2
6
 sec x  1 sec x tan x sec x dx
2

u  secx  du  secx tan xdx

du  sec 2 x  sec x tan xdx

du

 u  ln u  C  ln...