Integracion Por Sustituci N Trigonom Trica

Universidad de la Frontera

3

Departamento de Matem´
atica y Estad´ıstica
Cl´ınica de Matem´
atica

Sustituci´
on Trigonom´
etrica
J. Labrin - G.Riquelme

1. Resuelva:

dx
√
x2 4 + x2

Soluci´
on:
Hacemos el siguiente tri´
angulo:

A continuaci´
on reescribimos nuestra integral en funci´on del a´ngulo α
x
⇒ 2sec2 (α)dα = dx
2
√
4 + x2
sec(α) =
⇒ 2sec(α) =
2
tg(α) =

4 + x2

dx
cos(α)dα
1
√
=
24
sen2 (α)
4+x
Para resolver nuestra nueva integral, hacemos una sustituci´on simple:
x2

u = sen(α)
du = cos(α)
Luego:
1
4

1
cos(α)dα
=
2
sen (α)
4

du
u2
1
+c
=−
4sen(α)
√
4 + x2
+c
=−
4x

11

2.

√

dx
x2 − 9

Soluci´
on:

Construyendo el tri´
angulo queda:

3sec(α) = x ⇒ 3sec(α)tg(α)dα = dx
3tg(α) =

x2 − 9

A continuaci´
on reescribimos la integral:
√

dx
=
x2 − 9

sec(α)tg(α)dα
tg(α)

=sec(α)dα = ln|sec(α + tg(α))| + c
√
x + x2 − 9
+c
= ln
3

3.

√

9 − 4x2
dx
x

Soluci´
on:
Llevamos la integral al tri´
angulo

3
3
cos(α) ⇒ dx = − sen(α)dα
2
2
2
9 − 4x = 3sen(α)
x=

12

Transcribiendo la integral y resolviendo:
√
9 − 4x2
dx = −3
x

sen2 (α)
dα
cos(α)
(1 − cos2 (α))
dα
cos(α)

= −3
= −3

sec(α)dα + 3

cos(α)dα

= −3ln|sec(α) + tg(α)| + 3sen(α) + c
√
3 + 9 − 4x2
= −3ln
+ 9 − 4x22x
4.

dx
3

(4 − x2 ) 2
Soluci´
on:

x = 2sen(α) ⇒ dx = 2cos(α)dα
4 − x2 = 2cos(α)
Luego la integral queda:
dx
(4 −

3

x2 ) 2

=2

cos(α)
dα
(2cos(α))3

1
sec2 (α)dα
4
1
= tg(α) + c
4
1
x
= √
+c
4 4 − x2
=

5.

√

dx
x2 − 4x + 3

Soluci´
on:

Observamos que x2 − 4x + 3 se puede escribir como (x − 2)2 − 1, luego nuestra integral la podemos
pasar al tria´
angulo:

13

x − 2 = sec(α) ⇒ dx =sec(α)tg(α)dα

(x − 2)2 − 1 = tg(α)
Finalmente, resolviendo la integral:
√

x2

dx
=
− 4x + 3

dx
(x − 2)2 − 1
sec(α)tg(α)
dα
tg(α)

=
=

sec(α)dα

= ln|sec(α) + tg(α)| + c
= ln|x − 2 +
6.

√

(x − 2)2 − 1| + c

y
dy
5−y

Soluci´
on:

Construyendo el tri´
angulo

√

y
50
dy = √
5−y
5
50
=√
5
50
=√
5
50
=√
5
50
=√
5

cos2 (α)sen(α)
dα
sen(α)
cos3 (α)dα
cos2 (α)cos(α)dα
(1 − sen2 (α))cos(α)dα
50
cos(α)dα −√
5
a

b

Desarrollamos nuestras dos integrales:
50
50
= 10
a) √
cos(α)dα = − √
5
5sen(α)
50
b) − √
sen2 (α)cos(α)dα
5

sen2 (α)cos(α)dα

5−y

Hacemos el siguiente cambio de variable:
u = sen(α)
du = cos(α)dα

14

50
sen2 (α)cos(α)dα = − √
u2 du
5
50 u3
= −√
5 3
50 sen(α)
= −√
5 3
10
=−
5−y
3

50
−√
5

∴

7.

x2

y
√
dy = 10
5−y

5−y−

10
3

5−y+c

dx
√
x 2 + a2

Soluci´
on:

x = atg(α) ⇒ dx = asec2(α)dα
x2 + a2 = asen(α)
Reescribiendo nuestra integral original:

x2

√

dx
1
= 2
2
2
a
x +a
1
= 2
a
1
= 2
a
=

1
a2

sec2 (α)
dα
tg 2 (α)sec(α)
sec(α)
dα
tg2 (α)
1
cos(α)
sen2 (α)
cos2 (α)

dα

cos(α)
dα
sen2 (α)

Hacemos la siguiente sustituci´on:
u = sen(α) ⇒ du = cos(α)dα
∴

1
a2

cos(α)
1
dα = 2
2
sen (α)
a

du
1
1
=− 2 +c=− 2
+c
2
u
a u
a sen(α)

15

8.

√

x 2 − a2
dx
x4

Soluci´
on:

x =asec(α) ⇒ dx = asec(α)tg(α)dα
x2 − a2 = atg(α)
Transcribiendo la integral obtenemos:
√

Para poder resolver

1
a2

1
x 2 − a2
dx = 2
x4
a
1
= 2
a

tg 2 (α)
dα
sec3 (α)
tg 2 (α)
dα
sec3 (α)

tg 2 (α)
dα debemos hacer uso de la siguiente identidad trigonom´etrica:
sec3 (α)
tg2 (α) = sec2 (α) − 1

Luego:
sec2 (α) − 1
1
1
dα = 2 cos(α)dα − 2 cos3 (α)dα
3
sec (α)
a
a
1
1
= 2 sen(α) − 2 cos3 (α)dα
a
a1
a2

Para resolver la integral

1
a2

cos3 (α)dα es necesario hacer uso de la identidad trigonom´etrica:
cos2 (α) = 1 − sen2 (α)

Finalmente queda:
−

1
a2

Por u
´ltimo, para resolver

1
cos2 (α)cos(α)dα
a2
1
= − 2 (1 − sen2 (α))cos(α)dα
a
1
1
= − 2 cos(α)dα + 2 sen2 (α)co(α)dα
a
a
1
1
= − 2 sen(α) + 2 sen2 (α)cos(α)dα
a
a

cos3 (α)dα = −

1
a2

cos2 (α)sen(α)dα, es necesario hacer la siguientesustituci´on:
u = sen(α) ⇒ du = cos(α)dα

16

luego:
1
a2

sen2 (α)cos(α)dα =

(z 2

u2 du =

√
sen3 (α)
1
x2 − a2
=
+c= 2
4
2
x
3a
3a

∴

9.

1
a2

sen3 (α)
u3
=
3a2
3a2
√
x 2 − a2
+c
x

dz
− 2z + 5)2

Soluci´
on:

Primero que todo observamos que z 2 − 2z + 5 se puede escribir como z 2 − 2z + 1 + 4 y ´este a su
vez como (z − 1)2 + 4, luego entonces la integral se transforma en:
dz
((z −...