1

Funciones
1.1 Exponenciales y Logarítmicas
1.2
Diferenciación
Exponencial

de

una

1.3 Diferenciación de una Función
Logarítmica
1.3.1 Diferenciación Logarítmica

Función

Integrales
2.1 Integral Indefinida
2.2 Integración de Funciones
Trigonométricas
2.3 Teorema Fundamental del Cálculo
2.4 Método de Sustitución
2.4.1 Sustitución para integrales definidas

2.5 Integración por partesEcuaciones Diferenciales
3.1 Introducción
3.2 Solución de una Ecuación Diferencial
3.2.1 Comprobación de la solución de una ED

3.3 Obtención de una Ecuación
Diferencial a partir de la solución
general.

Métodos Para Resolver una ED
4.1 Introducción
4.1.1 Objetivo de los métodos para la
obtención de la solución general.

4.2 Ecuaciones de Variables Separables
4.3 Ecuaciones Homogéneas
4.4 EcuacionesExactas

Cálculo con Geometría Analítica
R. E. Larson y R. P. Hostetler
Mc. Graw-Hill, 2000

Cálculo con Geometría
L. Leiithold
Harla, 1992
Cálculo, Concepto y Contextos
J. Stewart
Internacional Thompson, 1999

Ecuaciones Diferenciales
E. D. Rainville
Nueva Editorial Interamericana, 1987

Cálculo
Frnakes Ayres Jr., Elliot Mendelson
Mc. Graw-Hill, 2001
Matemáticas Superiores para Ingeniería
C. RayWyle
Mc. Graw-Hill, 1994

Definición

f : A B

f Función
A y B Conjuntos

La función denota una regla que asigna a cada
elemento de x del conjunto A, exactamente un
elemento, denotados por f(x) del conjunto B.

A

x

f(x)

a

f(a)

B

Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos
de números reales:

A B R

Dominio es el conjunto A de la función, denotado
por D(f).
Rango es el conjunto detodos los valores
posibles f(x) conforme varía en todo el dominio A.
El número f(x) es el valor de f en x.

R( f )  f ( x) : x  A
y

y=f(x)

Rang
o
x
Domini
o

Ejemplo
Encuentre el dominio y rango de cada función:
1. f(x)=2x-1
2. g(x)=x2

Solución

1. La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la
ecuación de una recta con pendiente y ordenada en
el origen de -1. La expresión estadefinida por todos
los números reales, de manera que D(f)=R y su
rango es también R(f)=R.
1
-1

-1

/2 1

1

Solución

2.
La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual
representa una parábola. La función g esta definida
para cualquier número real, así D(g)=R y su rango
es positivo.
4
3
2
1
-2

-1

1

2

Funciones Potencia
Funciones donde la base es una variable y la
potencia es una constante, tiene lasiguiente forma:
a

f ( x)  x
Ejemplos:

aR

f ( x)  x 2
g( x)  x
h( x)  x  1

Función Exponencial
Función donde la base es una constante y la
potencia es una variable, es la función
exponencial de base a, tiene la siguiente forma:
x

f ( x) a

a0
xR

Ejemplos:

f ( x) 2

x

g( x) 32x

 1
h( x)  
 2

x

Propiedades de la Función Exponencial
Siendo:

x, y  R

a,b  0

 ab

0
a1
1.

4.

x y
xy
2. a a a

5. a x

x

a
x y
3.

a
ay

 

x

y

x

a x b x
a xy

x
a
a
 
6.    x
b
 b

En cálculo se decide trabajar como base el número
irracional e que tiene un valor aproximado de
2.718281828.
Definición
La función exponencial para cualquier x є R se
define como:
1
x
e  Lim1 x x 2.718281828
x 0

Cuenta con las mismas propiedades que cualquier
funciónexponencial de base a.

Gráfica de la Función Exponencial “base e”
4
3
2
1

-1
-1.
5

1

-0.5
0.5

1.5

Función Logarítmica
Para a>0 y a1 y x>0 denotamos la función
logaritmo de base a por logax, y se define como:

loga x b  a b  x
Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe
elevarse la base a para dar x.

Las funciones exponenciales y logarítmicas son
funciones inversas una de otra, como sepuede ver
en los siguientes ejemplos:

Forma
Logarítmica

Forma
Exponencial

log28=3

23=8

loga1=0

a0=1

log10 0.1=-1

10-1=0.1

log10 1000=3

103=1000

Propiedades de la Función Logarítmica
Siendo: a, b  1 y x, y >0 se tienen las siguientes
características:
1. loga 1 0
3. loga  xy  loga x  loga y
n
5. loga x n loga x

1
7. loga b 
logb a

2. loga a 1
 x
4. loga    loga x ...