1

La generalización en un tipo particular de sucesiones aritméticas:
los problemas de generalización lineal
Juan Antonio García Cruz

Números, 38 (1999), 3-20.

La generalización en un tipo particular de sucesiones aritméticas:
los problemas de generalización lineal1
Juan Antonio García Cruz
Abstract: This paper deals with the process of generalization as it is developed by secondary educationstudents through a special kind of tasks: the linear generalizing problems. A new category of students'
responses as well as actions, invariants and levels of generalization are reported.
Resumen: Este artículo trata sobre el proceso de generalización tal y como es desarrollado por alumnos
de secundaria al realizar un tipo particular de tareas: los problemas de generalización lineal. Se aporta
unanueva categorización de las respuestas así como acciones, invariantes y niveles de generalización.
Introducción
Una pregunta que siempre me ha atraído es ¿cómo construimos el conocimiento? Me refiero al
conocimiento no memorístico sino aquel conocimiento que manifestamos con clara comprensión de lo
que expresamos. Con ese centro de interés comencé allá por el año 1991 una investigación, quefinalmente concluyó en una tesis doctoral. Elegí un tema propio de la secundaria: las sucesiones
aritméticas. Una vez elegido el tema, lo siguiente fue preguntarme qué había escrito sobre el tema en la
literatura de investigación. El primer trabajo que cayó en mis manos fue el de Stacey (Stacey, 1989). Tal
trabajo trata de un tipo particular de sucesiones aritméticas, aquellas cuyo término general es dela forma
f(n) = an + b, con a y b números enteros tales que a ≠ 0, b ≠ 0, a > 0 y a + b > 0 (en otras palabras, b puede
ser un entero negativo). Este hecho excluye a las progresiones aritméticas de la forma f(n)=an. Tales
problemas se conocen en la literatura didáctica con la denominación de problemas de generalización lineal.
El formato de presentación, aunque puede variar, tiene por lo generaldos partes y es del siguiente
tipo:

(Figura 1)
Primera parte: Mediante dibujos ilustrativos se describen los primeros términos (n = 1, 2, 3,...) de una
sucesión de objetos que están compuestos de f(n) elementos bien diferenciados. De esta forma se conocen
los primeros términos f(1), f(2), f(3)... de la sucesión numérica.
Segunda parte: Se propone una tarea que consta de tres tipos de cuestiones:
a)Cuestiones introductorias: Se pide el número de elementos que corresponden a objetos de tamaño cuatro
o cinco: f(4) ó f(5).
b) Cuestión de generalización próxima: Se solicita el número de elementos que corresponden a un objeto de
tamaño tal que el alumno pueda calcularlo mediante un procedimiento de recuento directo, como f(10).
c) Cuestión de generalización lejana: Se solicita el número deelementos que corresponden a un objeto de un
tamaño tal que el cálculo es difícil o resulta complejo por un procedimiento de recuento directo, como
f(20) ó f(100).
El término generalización próxima hace referencia a una cuestión que puede ser resuelta mediante un
recuento directo sobre un dibujo construido al efecto o mediante la extensión de la sucesión numérica
correspondiente; el términogeneralización lejana, hace referencia a una cuestión que no se puede abordar
o es difícil de hacer por los procedimientos paso a paso descritos para la generalización próxima, y
requiere la búsqueda de una expresión o fórmula general.
1

Este artículo esta basado en la memoria presentada por el autor, y dirigida por el Dr. Antonio Martinón
Cejas para optar al grado de Doctor en Ciencias Matemáticas, en laFacultad de Matemáticas de la
Universidad de La Laguna el 20 de Junio de 1998.
1

A continuación resumo los hallazgos, más importantes, del trabajo de Stacey con alumnos de edades
comprendidas entre los 9 y 13 años.
1) Clasifica los métodos empleados por los alumnos en cuatro categorías:
Recuento: Contar directamente sobre un dibujo o construir la sucesión correspondiente hasta el
término...