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MATEMÁTICA I:
PROPORCIONALIDAD
Nelson
Valenzuela V.

Comparar cantidades

Ayer fui a comprar un par de zapatillas de un modelo que me
gusta mucho.
Cotizando precios me encontré con la sorpresa que mientras en
una primera tienda valía $ 16.000, en una segunda tienda su
precio era de $ 14.400, pues estaba de liquidación.
Se nos pide que comparemos estas dos cantidades.
 

 COMPARACIÓN PORDIFERENCIA O “VARIACIÓN”
 
Variación del precio = Precio Final – Precio inicial
Simbólicamente sería:

P = Pf – Pi
Donde es la letra griega “delta” que representa el concepto variación. En el
ejemplo
P = $14.400 - $ 16.000 = –$ 1.600
Observe que este ejemplo corresponde a una “variación negativa” esto
significa que el precio de las zapatillas en la segunda tienda es $ 1.600 más
barato que en la primera.Una variación es numéricamente positiva si ella indica que el valor final es
mayor que el inicial, o sea que es positiva si indica un aumento de la variable
en estudio.
Pero una variación es negativa si ella indica una disminución en el valor de la
variable (como en el caso del ejemplo).

 
COMPARACIÓN
POR CUOCIENTE O “RAZÓN”
 
Está claro que la Variación es una manera “común” de establecercomparaciones entre valores de una variable.
Ahora veremos una forma de comparar que no es tan común, ella consiste en
establecer un cuociente (por ejemplo, en forma de fracción) entre los valores
de la variable, registrando –por acuerdo entre nosotros– en el numerador la
cantidad menor:

Al simplificar la fracción se obtiene que también se puede expresar 9 : 10 y
se lee “nueve es a diez”.
El 9 es elantecedente y el 10 es el consecuente de la razón.
¿Qué significa esto? En primer lugar señalar que esta expresión se interpreta
señalando que los precios de estas zapatillas, entre la segunda y la primera
tienda es como 9 es a 10, o sea que por cada $ 9 que se paga en la primera
tienda se debe pagar $ 10 en la segunda.

Imaginemos que para cancelar el precio de las zapatillas en la segunda
tiendautilizo 16 pilas de monedas de $100 de nueva monedas cada pila
(ver figura)

En cambio, para pagar el precio de las mismas zapatillas en la segunda
tienda utilizo 16 pilas de monedas de $100 de ¡diez monedas cada
pila! (ver figura)

Observe que, a pesar de que los precios son diferentes, la cantidad de pilas de monedas es
la misma. Este aspecto constante del estudio constituye la constante deproporcionalidad
de la razón, también llamada constante de repartición.

Ejemplo
 
Tres hermanos, de 15 años, 17 años y 18 años deben repartirse $180.000 en
razón de sus edades ¿Cuánto corresponde a cada uno?
 
Sea “x” la constante de repartición de este problema. De acuerdo con esto, al
hermano menor le corresponderán “15∙x” pesos, al del medio “17 ∙x” pesos
y al mayor “18∙x” pesos.
Por lo tanto,como se debe repartir los $180.000, se plantea la ecuación
siguiente:
15x + 17x + 18x = 180.000
50x = 180.000
De donde se obtiene que x = 3.600
Respuesta: Por lo tanto al hermano menor le corresponde $54.000 (15 ∙
3.600) al hermano del medio le corresponde $61.200 (17 ∙ 3.600) y al
hermano mayor $64.800 (18 ∙ 3.600).

1. En una receta de cocina los ingredientes están en razón 2 : 5 : 8 : 13. Si
elingrediente que aporta una menor cantidad a la mezcla pesa 84
gramos ¿Cuánto pesa la mezcla?

2. Un mapa está en la escala 1 : 720.000. Si en dicho mapa la distancia
entre dos ciudades es de 16,5 cm ¿A qué distancia se encuentran en la
realidad?

 
PROPORCIÓN
 
Una Proporción es una igualdad entre dos razones.
 
Así, constituye una Proporción una expresión del tipo que también se puede
anotarasí: 3 : 5 = 48 : 80, donde 3 y 80 constituyen los extremos de la
proporción y 5 y 48 son los medios.
O sea que toda expresión de la forma a : b = c : d constituye una proporción y
se lee: “a” es a “b” como “c” es a “d”.
 
Propiedad fundamental de las Proporciones
 
El producto de los medios es igual al producto de los extremo.
 
O sea que en la proporción a : b = c : d se verifica que ad = bc....