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1.

Fundamentos

Al terminar esta sección se espera que el estudiante sea capaz de:
1) Reconocer y aplicar las propiedades de los números reales; 2) Representar el conjunto de
los números reales en la recta numérica; 3) Escribir cualquier conjunto de los números reales,
en forma de: intervalos, analítica o descriptiva y gráficamente.
1.1 Números reales. Los números reales están formados por:Números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10, 11, 12, 13, 14, . . .

Números enteros: −∞ . . . −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 . . . ∞
Números racionales: 𝑟 =

𝑚
𝑛

formados mediante la razón (división) entre dos enteros. n ≠ 𝟎.

Ejemplos:
2
𝑎) = 0.4
5

3
𝑏) − = −0.42857
7

𝑐)

1
0

=?

la división entre el
número CERO, no está
definida.

Números irracionales: son los que no se pueden expresar como una razónentre dos enteros.
Ejemplos:

𝑎)

3

6 = 1.81712. . .

𝑏) 𝜋 = 3.141593 . . .

𝑐) 27 = 5.19615 . . .

El conjunto de todos los números reales en una dimensión se representa mediante el símbolo: ℝ
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Ejercicios para resolver en clase:
Con base en lo anteriormente visto, conteste lassiguientes preguntas:
1) ¿Cuáles son los números racionales? Escriba dos ejemplos.
2) ¿Cuál es el resultado de la división de dos enteros, si el denominador es cero? Explique su
respuesta.
3) ¿Cuál es el símbolo para representar a los números reales en una dimensión?

Propiedades de los números reales:
Propiedades conmutativas
de la suma:

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

⇒

2 + 3 = 3 + 2

Cuando se suman dosnúmeros, no importa el orden.

de la multiplicación:

𝑎𝑏 = 𝑏𝑎

⇒

4(5) = 5(4)

Cuando se multiplican dos números, no importa el orden.
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2

Propiedades asociativas
de la suma:

(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

⇒ (3 + 2) + 5 = 3 + (2 + 5)

Cuando se suman tres números, no importa cuáles dos se sumanprimero.

de la multiplicación:

(𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐)

⇒ (2 × 4)3 = 2(4 × 3)

Cuando multiplicamos tres números, no importa cuáles
dos se multiplican primero.

Propiedad distributiva:
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

⇒

3(2 + 5) = 3(2) + 3(5)

(𝑏 + 𝑐)𝑎 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

⇒

(2 + 5)3 = 3(2) + 3(5)

Cuando se multiplica un número por una suma de dos números se obtiene el mismo
resultado al multiplicar el número por cada unode los términos y luego sumar los
resultados.
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3

Propiedades de los números negativos:
⇒

1 7 = −7

2) − −𝑎 = 𝑎

⇒

 ( 4) = 4

3) −𝑎 𝑏 = 𝑎 −𝑏 = −(𝑎𝑏)

⇒

8 4 = 4 − 8 = − 4 × 8 = −32

4) −𝑎 −𝑏 = 𝑎𝑏

⇒

(5)(−7) = 5(7) = 35

5)  𝑎 + 𝑏 = −𝑎 − 𝑏

⇒

 2 + 3 = −2 − 3 = −5

6)  𝑎 − 𝑏= 𝑏 − 𝑎

⇒

 4 − 2 = 2 − 4 = −2

1)

−1 𝑎 = −𝑎

Ejercicios para resolver el clase: aplique las propiedades de los números negativos para
resolver los siguientes incisos simplificando su respuesta final.
1) − 𝑦(𝑥 + 5)

2) − (2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧)

3) 5𝑥( 2 + 𝑦)

4) − 𝑦(−6𝑥 + 2𝑧)

4
(−6𝑤)
3

5
6) − (−4𝑡 − 8𝑤)
2

5)

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4

Propiedades de las fracciones
𝑎 𝑐
𝑎𝑐
1)
=
𝑏 𝑑
𝑏𝑑

⇒

4 2
4(2)
8
=
=
3 5
3(5)
15

Cuando se multiplican fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores.
2)

𝑎 𝑐
𝑎 𝑑
𝑎𝑑
÷ =
=
𝑏 𝑑
𝑏 𝑐
𝑏𝑐

⇒

4 2
4 3
4(3)
12
6
÷ =
=
=
=
5 3
5 2
5(2)
10
5

Cuando se dividen fracciones, se invierte el divisor y luego se multiplica.
3)

𝑎 𝑏
𝑎+𝑏
+
=
𝑐
𝑐
𝑐

⇒

1 4
1+4
5
+ =
=
33
3
3

Cuando se suman fracciones con el mismo denominador se suman los numeradores, y el
denominador sólo se copia.
4)

𝑎
𝑐
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
+
=
𝑏
𝑑
𝑏𝑑

⇒

3 4
3 7 + 2(4)
21 + 8
29
+ =
=
=
2 7
2(7)
14
14

Cuando se suman fracciones con denominadores diferentes, se busca un denominador
común. Luego se multiplica en cruz y finalmente se suman los numeradores que resulten.
Debe simplificarse finalmente la...