123 Matematicas

Preparatoria 5

cónicas

Matemáticas











Cónicas


Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
] Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicaspueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática (como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.)

L
Secciones cónicas

Elipse, indicándose su semilado recto.
Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dadapor:

donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .


La parábola


La parábola es el lugar geométrico de los puntos del planoque equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Elementos de la parábola
Foco
Es el punto fijo F.
Directriz
Es la recta fija d.
Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje
Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice
Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Radiovector
Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.






* Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.
* La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p). Dada unaparábola, se llama eje de la misma recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz. Se llama vértice de la parábola al punto donde esta corta a su eje.
* Construcción geométrica animada en regla y compas >>
* La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje x, vértice en (h, k) y cuya distancia al foco
* Una parábola con vértice en el origen y eje sobre elejex pasa por el punto (3,6). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Trazar su gráfica.
* Solución:
* La parábola tiene su eje sobre el ejex, por tanto, su ecuación es de la forma:
* y2=4ax
* La parábola pasa por el punto (-3, 6), entonces las coordenadas del punto deben
satisfacer la ecuación,o sea: 62 = 4a (-3)
De donde 36 = 12ª
* Por tanto: 9- 3 = a
* y la ecuación de la parábola es: y2= 4(-3) x
* Es decir: y2= -12x
* Como la parábola tiene su eje sobre el eje las coordenadas del foco son( a ) es decir (-3,0). La ecuación de directriz es x =-a

La formula canoníca de la ecuación de una parábola con vértice v = (h, k)
Parábola con vértice y = k – pDirectriz (x – h) = 4p (y- K)
El eje de la parábola es vertical y el foco está a unidades (orientadas) del vértice. Si , la parábola abre hacia arriba y el foco está en ; si ,  la parábola abre hacia abajo y el foco está en .
Si la directriz es (eje horizontal), la ecuación es

El eje de la parábola es horizontal y el foco está a unidades (orientadas) del vértice. Si , la parábola abre haciala derecha y el foco está en ; si ,  la parábola abre hacia la izquierda y el foco está en }

Ejemplo 1.
Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la parábola tenemos que

De donde obtenemos que y el vértice , por lo...