2 Aplic Linea Diagonalizacion y Formas Cuadrat

PROCESOS SECUENCIALES LINEALES.
DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
1)

APLICACIONES LINEALES

Definición
Sean V y V  dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K . La aplicación
f : V  V  se llama aplicación lineal o transformación lineal si cumple los dos

requisitos siguientes:
1. v1 , v2 V :

f (v1  v2 )  f (v1 )  f (v2 )

2. k  K , v V :

f (k  v)  k  f (v)

oequivalentemente:

 k1 , k2  K , u, vV :

f (k1  u  k2  v)  f (k1  u)  f (k2  v)  k1  f (u)  k2  f (v)

Propiedades
1. Toda aplicación lineal transforma el vector nulo de V en el vector nulo de V  :
_

_

f (0V )  0V '
2. La imagen del opuesto de un vector es el opuesto de la imagen del vector:
f (v)   f (v),  v V

3. Las aplicaciones lineales transforman subespacios vectoriales de V

ensubespacios vectoriales de V  :
S es subespacio vectorial de V  f (S ) es subespacio vectorial de V '
Definición
El Núcleo de una aplicación lineal f : V  V  es el conjunto de vectores de V que
se transforman mediante f en el vector nulo de V ' :
_


Ker f  v V / f (v)  0 V '



1

Definición
La Imagen de una aplicación lineal f : V  V  es el conjunto de vectores de V ' que
sonimagen de algún vector de V mediante la aplicación f:

f (V )  Im f   v'V ' /  v V , f (v)  v'
Propiedades
1. Im ( f ) es un subespacio vectorial de V  y su dimensión se denomina
dimensión de la aplicación lineal f y se denota por dim ( f )  dim (Im f ) .
Además, las imágenes de una base de V constituyen un sistema generador del
subespacio vectorial Im ( f ) .

V
 V 
f
f 
B  u1,..., un  

(u1 ),..., f (un )  G




Base de V

Sistema generadorde Im f

_

_

2. Ker f  Ø, ya que al menos f (0V )  0V '
3. Ker f es subespacio vectorial de V
4. Se verifica que dim (V )  dim( Ker f )  dim(Im f )

Expresión matricial de una aplicación lineal
Dada la aplicación lineal f : Vn  Vm y fijadas una base B1   u1 , , un  de Vn y
B2  v1 ,, vm  de Vm , secomprueba que f queda completamente determinada por

una matriz A  M mn que es única, pudiendo reducirse el análisis de f al estudio de A.
Ecuaciones de una aplicación lineal
Buscamos la relación entre las coordenadas de un vector x de Vn y las coordenadas
de su imagen y  f (x), conocidas las imágenes de los vectores de la base B1 de Vn .
Es decir, conocemos

 f (u1 ),..., f (un )  Vm

y queremoshallar la expresión matricial

de la aplicación lineal.

2

f
Vn 
Vm

B1   u1 ,..., u n 

B2   v1 ,..., vm 

x  x1u1  ...  xn u n 
 y  f ( x)  y1v1  ...  ym vm
 f (u1 )  a11v1  a21v2    am1vm
 f (u )  a v  a v    a v

2
12 1
22 2
m2 m

 
 f (u n )  a1n v1  a2 n v2  ...  amn vm


y  f ( x)  f ( x1u1  x2u 2    xn u n )  x1 f (u1 )  x2 f (u2 )    xn f (u n ) 
x1 (a11v1  a21v2    am1vm )  x2 (a12v1  a22v2    am 2 vm )    xn (a1n v1  a2 n v2    amn vm ) 
( x1a11  x2 a12    xn a1n )v1  ( x1a21  x2 a22    xn a2 n )v2    ( x1am1  x2 am 2    xn amn )vm

Como y  f ( x)  y1v1  ...  ym vm , entonces las ecuaciones de f respecto de las
bases B1 de Vn y B2 de Vm son

 y1  x1a11  x2 a12  ...  xna1n
 y  x a  x a  ...  x a
 2
1 21
2 22
n 2n

...

 ym  x1am1  x2 am 2  ...  xn amn
y la expresión matricial de f respecto de B1 y B2 será
Y  AX ,
 y1 
 
 y2 
 
 
y 
m

Coordenada
s de y
respecto de B2

A  M mn

 a11 a12  a1n 


 a21 a22  a2 n 


... ...  ... 


a

a

a
m1
2
mn 

m


f ( u1 )

f ( u2 )



f ( un )

 x1 
 
 x2  
 
x 
n

Coordenada
s de x
respecto de B1

Propiedades
1. A  M mn  Matriz asociada a f respecto de B1 y B2
2. Las columnas de A son las imágenes de los vectores de la base B1 de Vn ,
expresados en términos de la base de llegada B2 .

3

3. A es única, ya que son únicas las coordenadas de f (u1 ),..., f (un ) en relación a

B2 , puesto que B2 es base.
4. A depende de las bases de...