Formas Cuadraticas- Algebra Lineal

Cap´ıtulo 1 Formas cuadr´aticas. Aunque, pueda parecernos que vamos a estudiar un nuevo concepto, un caso particular de las formas cudr´aticas ya ha sido estudiado, pues la norma de un vector no esm´as que una forma cuadr´atica. Aqu´ı, las veremos de forma general. Definici´on 1.- Sea V un espacio vectorial real de dimensi´on finita n, y sea B una base V . Se denomina forma cuadr´atica sobre V atoda “funci´on polin´omica” Q:V −→ IR de la forma Q(x) = n X i,j=1 aijxixj donde [x]B =     x1 . . . xn     y aij ∈ IR. Es decir, una forma cuadr´atica es un polinomio ho- mog´eneo desegundo grado y n variables. Expresi´on matricial. Toda forma cuadr´atica Q sobre V , se puede expresar matricialmente como: Q(x) = n X i,j=1 aijxixj = ³ x1 x2 ··· xn ´       a11 a12 ··· a1n a21 a22··· a2n . . . . . . ... . . . an1 an2 ··· ann             x1 x2 . . . xn       . De hecho, tenemos el siguiente resultado Teorema 2.- Toda forma cuadr´atica Q sobre V , se puedeexpresar matricialmente como Q(x) = [x]tBA[x]B donde A es una matriz sim´etrica. Demostraci´on: Si en la expresi´on de la forma cuadr´atica, Q(x) = n X i,j=1 aijxixj, consideramos los pares de sumandosde la forma aijxixj y ajixjxi, se tiene que aijxixj + ajixjxi = (aij + aji)xixj = aij + aji 2 xixj + aij + aji 2 xjxi ´ Algebra Lineal. 1 1.1 Diagonalizaci´on de una forma cuadr´atica. m at Por lo quela expresi´on matricial de Q, es tambi´en Q(x) = ³ x1 x2 ··· xn ´       a11 a12+a21 2 ··· a1n+an1 2 a12+a21 2 a22 ··· a2n+an2 2. . . . . . ... . . . a1n+an1 2 a2n+an2 2 ··· ann            x1 x2 . . . xn       = [x]tBA[x]B, siendo A una matriz sim´etrica. La matriz sim´etrica A, se denomina matriz asociada a la forma cuadr´atica Q en la base B. Veamos como afecta, elcambio de base, a la matriz de una forma cuadr´atica. Cambio de base. Sea B0 base de V distinta de B, si P es la matriz de paso de B0 a B, PB0→B, se cumple que [x]B = P[x]B0 para todo x de V , luego,...