2006 pendulofisico

Medición de la gravedad
Física Experimental 1
Noviembre de 2006
Mac Intyre, Jonatan
Portillo, Miguel
jonamacintyre@hotmail.com
miguelanibalportillo@hotmail.com

Introducción
En 1687, Sir Isaac Newton publicó en su obra Principia Matemática Philosophiae Naturalis la ley de
gravitación universal [1], la cual se le ocurrió, según lo que cuenta la historia, estando sentado debajo de
un árbol viendocaer una manzana. Newton concluyó que existía una relación de fuerza entre dos masas
que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre ellas. Esta relación puede
expresarse como
G
Mm K
F = −G 2 u
r
donde G es una constante universal, r la distancia que existe entre las masas M y m, uG es un vector unitario
en la dirección y sentido que va de M a m .
Si de esta relacióneliminamos a una de las masas, por ejemplo m, se define a la intensidad del campo
gravitatorio Γ como
K
M K
Γ = −G 2 u
r
G
Así, el campo gravitatorio tiene dirección opuesta al del vector unitario u , que apunta a lo largo de la
línea que une a la masa que produce el campo con el punto en donde se calcula éste.
Si utilizamos a M como la masa de la Tierra y a r como el radio de la Tierra, el campogravitatorio que
produce la Tierra es de 9,786 m/s2, aproximadamente, al cual se le da el nombre de aceleración de la
gravedad. Ésta varía según la altura con respecto al nivel del mar.
Utilizando un péndulo físico, nos dispondremos a medir la aceleración de la gravedad en la ciudad de
Tandil.

Marco teórico
Supongamos un cuerpo plano de masa m colgado de un punto situado a una distancia b de sucentro de
masa, como se muestra en la figura 1 ([1] y [2]). El cuerpo oscila por un eje perpendicular ZZ´ debido a su
propio peso.
Si calculamos el torque τ con respecto al eje ZZ´, siendo I la
inercia rotacional del cuerpo, éste es
d 2θ
τ = Iα = I 2
dt
Por otra parte, la recta b forma un ángulo θ con la vertical, el
G
G
torque que actúa sobre el cuerpo debido a su peso P = mg es
τ = −mgb sen θdonde el signo menos corresponde a que se opone al ángulo de
desplazamiento.
1

Igualando estas dos últimas expresiones se obtiene
d 2θ
I 2 = −mgb sen θ
dt
Suponiendo que las oscilaciones son pequeñas, podemos usar la aproximación de sen θ ≅ θ . Entonces la
ecuación es
d 2θ
mgb
θ
=−
2
I
dt
o
2
d θ mgb
+
θ = 0 (1)
I
dt 2
La inercia rotacional I puede calcularse mediante el teorema de Steiner como:
I =ICM + mb 2
(2)
donde ICM es la inercia rotacional con respecto al centro de masa. Éste se puede expresar como
ICM = mK 2 ,

donde K se denomina radio de giro. Reemplazando (2) en (1) y simplificando las masas,

resulta que:
d 2θ
gb
+ 2
θ =0
2
dt
b + K2
Esta es una ecuación diferencial, cuya solución demuestra que el péndulo oscilará de manera armónica
alrededor de la posición vertical con períodoT dado por:
T = 2π

K 2 + b2
gb

(3)

Si modificamos la ecuación anterior de la siguiente manera:
4π 2 K 2 4π 2 2
(4)
T 2b =
b
+
g
g
puede verse que T2b será una función lineal de b2, con pendiente α = 4π 2 g , y ordena β = 4π 2K 2 g . De
esta manera, si se mide el período de oscilación T para distintos valores de b, será posible obtener g a
partir de una regresión lineal de T2b vs. b2.Experimental
Para realizar el péndulo utilizamos una pieza
cuadrada de fibra fenólica de 3 milímetros de espesor
y con una dimensión de 50 x 50 centímetros. Se
utilizó madera con el fin de aumentar la inercia del
péndulo, disminuyendo los efectos del rozamiento
con el aire.
Para nuestro experimento necesitamos ubicar el
centro de masa del péndulo. Este se midió mediante el
uso de una plomada de lasiguiente forma. Se colgó
en reposo al péndulo de un orificio hecho en un
vértice. Se colgó una plomada desde el mismo punto
2

para determinar la vertical. Se realizó lo mismo pero colgamos el péndulo de otro vértice y se determinó la
nueva vertical. El centro de masa se encontró en la intersección de las verticales como se muestra en la
figura 2.
Una vez establecido el centro de masa, realizamos una...