21 Transformada De Laplace

21. Transformada de Laplace. (p. 256)
La derivación y la integración son transformadas; esto significa, a grandes rasgos,
que estas operaciones transforman una función en otra. Por ejemplo:
𝑑 2
𝑥 = 2𝑥
𝑑𝑥

La función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 se transforma en una función lineal.

1
𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 𝐶
3

La integral de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 se transforma en
una familia de funciones polinomiales cúbicas.

Estudiaremosun tipo especial de transformada integral llamada transformada de
Laplace. Esta transformada tiene muchas propiedades interesantes que la hacen
muy útil para resolver problemas lineales con valores iniciales.
Tenemos particular interés en una transformada integral, donde el intervalo de
integración es el intervalo no acotado 0 , ∞ . Si 𝑓(𝑡 se define para 𝑡 ≥ 0, entonces
∞
la integral impropia 0 𝐾𝑠, 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 se define como un límite:
∞

𝒃

𝑲 𝒔, 𝒕 𝒇 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒍𝒊𝒎
𝟎

𝒃→∞ 𝟎

𝑲 𝒔, 𝒕 𝒇 𝒕 𝒅𝒕

(1)

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

1

Si existe el límite en (1), entonces se dice que la integral existe o es convergente; si
no existe el límite, la integral no existe y es divergente. En general, el límite en (1)
existirá sólo para ciertosvalores de la variable 𝑠.
La función 𝐾(𝑠, 𝑡 en (1) se llama 𝒌𝒆𝒓𝒏𝒆𝒍 o 𝒏ú𝒄𝒍𝒆𝒐 de la transformada. La elección
de 𝐾 𝑠, 𝑡 = 𝑒 −𝑠𝑡 como el núcleo nos proporciona una transformada integral
especialmente importante.

Definición de Transformada de Laplace:
Sea 𝑓 una función definida para 𝑡 ≥ 0. Entonces se dice que la integral
∞

L

𝒇(𝒕

𝒆−𝒔𝒕 𝒇 𝒕 𝒅𝒕

=
𝟎

Es la transformada de Laplace de 𝑓, siempre quela integral converja.
Cuando la integral de la definición converge, el resultado es una función de 𝑠. En
el análisis general se usa una letra minúscula para denotar la función que se
transforma y la letra mayúscula correspondiente para denotar su transformada de
Laplace, por ejemplo:
L 𝑓(𝑡

=𝐹 𝑠

L

𝑔(𝑡

=𝐺 𝑠

L

𝑦(𝑡

=𝑌 𝑠

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. OctavioRoberto Puac Álvarez

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Ejemplo
1) Aplicando la definición. Evalúe L
∞

𝑒 −𝑠𝑡

L 𝑘 =

𝑏

𝑘 𝑑𝑡

= 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞ 0

0

𝑒 −𝑠𝑡 𝑏
⇒ 𝑘 𝑙𝑖𝑚
𝑏 → ∞ −𝑠
0

𝑏→∞

⇒L

1
1
+
𝑒 𝑠𝑏 (−𝑠
𝑠

𝒌 =

𝒌
𝒔

𝑒 −𝑠𝑡 𝑘 𝑑𝑡

𝑏

= 𝑘 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞ 0

𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡

𝑒 −𝑠𝑏
1
⇒ 𝑘 𝑙𝑖𝑚
−
𝑏→∞ −𝑠
−𝑠

𝟎

⇒ 𝑘 𝑙𝑖𝑚

𝑘

𝑠>0

⇒ 𝑘

1
𝑠

𝒖 = −𝒔𝒕 ⇒ 𝒅𝒖 = −𝒔𝒅𝒕 ⇒
𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 =

𝒅𝒖
= 𝒅𝒕
−𝒔

𝟏 −𝒔𝒕
𝒆
−𝒔

𝒆∞ = ∞

;

𝟏
=𝟎
∞

La transformada de una constante 𝒌 siempre esigual a:

𝒌
𝒔

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Ejemplo
2) Aplicando la definición. Evalúe L
∞

𝑒 −𝑠𝑡

𝑒 𝑎𝑡

𝑒 −𝑡(𝑠−𝑎
⇒ 𝑙𝑖𝑚
𝑏 → ∞ −(𝑠 − 𝑎

𝑏

L 𝑒

𝑎𝑡

=

𝑏

𝑑𝑡

= 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞ 0

0

0

𝑏→∞

⇒L

𝒆𝒂𝒕

1
𝑒𝑏

𝑠−𝑎

=

𝟎
𝑠−𝑎

𝟏
𝒔−𝒂

𝑒 −𝑠𝑡+𝑎𝑡

𝑑𝑡

𝑏

= 𝑙𝑖𝑚

𝑏→∞ 0

𝑒 −𝑡(𝑠−𝑎 𝑑𝑡

𝒖 = −𝒕(𝒔 − 𝒂 ⇒ 𝒅𝒖 = −(𝒔 − 𝒂 𝒅𝒕

𝑒 −𝑏(𝑠−𝑎
1
⇒ 𝑙𝑖𝑚
−
𝑏→∞ −(𝑠 − 𝑎−(𝑠 − 𝑎

⇒ 𝑙𝑖𝑚 −

𝑒 𝑎𝑡

+

⇒

⇒

𝒆

−𝒕(𝒔−𝒂

𝒅𝒖
= 𝒅𝒕
−(𝒔 − 𝒂
𝒆−𝒕(𝒔−𝒂
𝒅𝒕 =
−(𝒔 − 𝒂

1
(𝑠 − 𝑎

La transformada de una función exponencial.

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4

Se establece la generalización de los dos ejemplos anteriores por medio del
siguiente teorema. A partir de este momento se deja de expresar cualquier
restricción en𝑠; se sobreentiende que 𝑠 está lo suficientemente restringida para
garantizar la convergencia de la adecuada transformada de Laplace.

Transformada de algunas funciones básicas:

UMG – Facultad de Ingeniería, Matemática y Ciencias Físicas – Ing. Octavio Roberto Puac Álvarez

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Ejemplo
1) Encuentre L 2𝑡 4
L

2𝑡

4

= 2L

𝑡

4

= 2

4!
𝑠 4+1

4!
𝟒!
𝟒
= 2 5 ⇒ L 𝟐𝒕 = 𝟐 𝟓
𝑠
𝒔

Ejemplo
2) Encuentre L −4𝑡2 + 16𝑡 + 9
L −4𝑡 2 + 16𝑡 + 9

= −4 L
= −4

2!
𝑠 2+1

𝑡 2 + 16 L
+ 16

𝑡 +L

9

1!
9
+
𝑠2
𝑠

2
1
9
= −4 3 + 16 2 +
𝑠
𝑠
𝑠
⇒L

−𝟒𝒕𝟐 + 𝟏𝟔𝒕 + 𝟗 = −𝟒

𝟐
𝟏
𝟗
+
𝟏𝟔
+
𝒔𝟑
𝒔𝟐
𝒔

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Ejemplo
3) Encuentre L

3

(2𝑡 − 1

(𝑨 − 𝑩 𝟑 = 𝑨𝟑 − 𝟑𝑨𝟐 𝑩 + 𝟑𝑨𝑩𝟐 − 𝑩𝟑

⇒ (2𝑡 − 1
⇒L

(2𝑡 − 1

3

3

8𝑡 3 − 12𝑡 2 + 6𝑡 − 1...