32 Regla de la cadena Larson 150 156

CAPÍTULO 2

130

Derivación

La regla de la cadena

2.4

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Encontrar la derivada de una función compuesta por la regla de la cadena.
Encontrar la derivada de una función por la regla general de la potencia.
Simplificar la derivada de una función por técnicas algebraicas.
Aplicar la regla de la cadena a funciones trigonométricas.

La regla de la cadena
Ahora es tiempo de analizar una de lasreglas de derivación más potentes: la regla de la
cadena. Ésta se aplica a las funciones compuestas y añade versatilidad a las reglas analizadas
en las dos secciones precedentes. Como ejemplo, comparar las funciones que se muestran
a continuación; las de la izquierda se pueden derivar sin la regla de la cadena, mientras que
a las de la derecha conviene aplicarles dicha regla.
Sin la regla de lacadena
y
y
y
y

Con la regla de la cadena

x2 1
sen x
3x 2
x tan x

y
y
y
y


x 2

1

sen 6x
(3x 2)5
x tan x2

En esencia, la regla de la cadena establece que si y cambia dyYdu veces más rápido que u,
mientras que u cambia duYdx veces más rápido que x, entonces y cambia (dyYdu)(duYdx)
veces más rápido que x.
EJEMPLO 1

Un juego de ruedas dentadas está construido, como muestra la figura 2.24, deforma que la
segunda y la tercera giran sobre un eje común. Cuando la primera gira, impulsa a la segunda
y ésta a su vez a la tercera. Sean y, u y x los números de revoluciones por minuto del primero,
segundo y tercer ejes. Encontrar dyYdu, duYdx y dyYdx, y verificar que

3
Rueda 2
Rueda 1
Eje 2
Rueda 4
1
Eje 1

Rueda 3
1

2

Eje 1: y revoluciones por minuto
Eje 2: u revoluciones por minuto
Eje 3: xrevoluciones por minuto
Figura 2.24

La derivada de una función compuesta

Eje 3

dy
dx

du
.
dx

dy
du

Solución Puesto que la circunferencia del segundo engranaje es tres veces mayor que la
de la primera, el primer eje debe dar tres vueltas para que el segundo complete una. Del
mismo modo, el segundo eje ha de dar dos vueltas para que el tercero complete una y, por
tanto, se debe escribir

dydu

3 y

du
dx

2.

Combinando ambos resultados, el primer eje debe dar seis vueltas para hacer girar una vez
al tercer eje. De tal manera:
dy
dx

Razón de cambio del primer
eje con respecto al segundo

dy
du

du
dx

3

2

Razón de cambio del segundo
eje con respecto al tercero

6

Razón de cambio del primer
eje con respecto al tercero

.

En otras palabras, la razón de cambio de y respecto a x esigual al producto de la razón de
cambio de y con respecto a u multiplicado por el de u con respecto a x.

SECCIÓN 2.4

EXPLORACIÓN

Aplicación de la regla de la
cadena Cada una de las funciones
que se encuentran a continuación
se pueden derivar utilizando las
reglas de derivación estudiadas en
las secciones 2.2 y 2.3. Calcular la
derivada de cada función utilizando
dichas reglas; luego encontrarla
derivada utilizando la regla de la
cadena. Comparar los resultados.
¿Cuál de los dos métodos es más
sencillo?
2
a)
3x 1
b) (x 2)3

La regla de la cadena

131

El ejemplo 1 ilustra un caso simple de la regla de la cadena. Su enunciado general es
el siguiente.

TEOREMA 2.10 LA REGLA DE LA CADENA
Si y f (u) es una función derivable de u y además u g(x) es una función derivable
de x, entonces yf(g(x)) es una función derivable de x y

dy
dx

dy
du

du
dx

o su equivalente

d
F f SgSxDDG
dx

f SgSxDDg SxD.

c) sen 2x
DEMOSTRACIÓN
Sea h(x) f(g(x)). Usando la forma alternativa de la derivada, es necesario
demostrar que, para x c,

h (c)

f (g(c))g (c).

Un aspecto importante en esta demostración es el comportamiento de g cuando x tiende a c.
Se presentan dificultades cuando existen valores dex, distintos de c, tales que g(x) g(c). En
el apéndice A se explica cómo utilizar la derivabilidad de ƒ y g para superar este problema.
Por ahora, supóngase que g(x) g(c) para valores de x distintos de c. En las demostraciones
de las reglas del producto y del cociente se sumó y restó una misma cantidad. Ahora se recurrirá a un truco similar, multiplicar y dividir por una misma cantidad (distinta...