7 GUIA INECUACIONES

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMÁTICA

I CICLO DEL 2005
CURSO PROPEDEUTICO
ELABORADO POR: MSC. MARIA ALICIA LEON

ECUACIONES Y DESIGUALDADES
RECORDAR QUE: Uno de los usos importantes del álgebra en la matemática es la solución de
ecuaciones y desigualdades. Tema fundamental en la resolución de problemas cotidianos.
ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES
Las ecuaciones lineales pueden darseen términos de una sola variable o con más de una variable.
Resuelva: 7 x − 10 = 4 x + 5 (ecuación en términos de una sola variable)
7 x − 10 = 4 x + 5
7 x − 10 + 10 = 4 x + 5 + 10

Ecuación original
Sume 10 en ambos lados

7 x = 4 x + 15
7 x − 4 x = 4 x − 4 x + 15
3 x = 15
3 x 15
=
3
3
x=5

Combine términos semejantes
Reste 4x en ambos lados
Combine términos semejantes
Divida ambos lados entre 3Simplifique
Conjunto solución de la ecuación: {5}

40
20

-6

-4

-2

2

4

-20
-40
-60

Solución gráfica de la
ecuación, se reduce a la
intersección de dos rectas.

EJERCICIO:
Justifique por qué? La ecuación 2 x − 3 = 2 x + 5 no tiene soluciones reales y la ecuación
3 x − 4 = 3( x − 3) + 5 tiene infinitas soluciones reales.
Resuelva: Encuentre P en términos de las otras variables: A = P + Pr t
A= P + Pr t
A = P(1 + rt )
A
=P
1 + rt
A
P=
1 + rt

Ecuación original, considere A, r y t como constante
Factorizar P para aislarlo de las otras variables
Divida ambos lados entre 1 + rt
Al llegar al resultado final se debe de restringir el denominador 1 + rt ≠ 0 , pues
recuerde que no se puede dividir por 0

6

Una ecuación como la siguiente x + 1 = 2 x + 3 , se convierte en una inecuación cuandoel signo
igual es sustituido por un signo de mayor o mayor e igual que, menor o menor e igual que.
Observemos que representa esto gráficamente.
20

10

-10

-5

5

10

-10

Si resolvemos la ecuación x + 1 = 2 x + 3 , encontramos que las dos rectas se cortan en el punto
x = −2
Si resolvemos la desigualdad x + 1 < 2 x + 3 encontramos que la recta x + 1 es menor que la recta
2 x + 3 en el intervalo]− 2, ∞[ o sea que en este intervalo la recta x + 1 está por debajo de la recta
2x + 3 .
20

10

-10

-5

5

10

-10

Por tanto, si la desigualdad es en la otra dirección x + 1 > 2 x + 3 el intervalo solución será
]− ∞,−2[ .
20

10

-10

-5

5

10

-10

Algebraicamente, para encontrar la solución de una inecuación como la anterior se procede de la
siguiente manera:

x + 1 ≤ 2x + 3
x ≤ 2x + 2−x≤2
x ≥ −2
x ∈ ]− 2,+∞[

Inecuación original
Se resta 1 en ambos lados
Se resta 2x en ambos lados
Se divide por -1 en ambos lados, debe de tener cuidado con el orden
inverso de la desigualdad al dividir por un número negativo
Intervalo solución de la desigualdad

Que sucede cuando estamos ante una inecuación de la forma: − 3 ≤ 4 − 7 x ≤ 18
En la gráfica de la situación planteada
anterior mente es clarodeterminar que la
recta se encuentra encerrada entre la recta
y = −3 y y = 18 en el intervalo que va de
[− 2,1] , cerrado porque las desigualdades
incluyen los extremos.

40

20

-10

-5

5

10

EJERCICIO: Resuelva algebraicamente.

-20

Que sucede con las situaciones que involucran valor absoluto?
Recuerde:
2 x − 6 = 3 ↔ 2 x − 6 = 3 o 2x - 6 = −3 y se reduce a dos ecuaciones lineales simples.
2 x− 6 ≤ 3 ↔ −3 ≤ 2 x − 6 ≤ 3 se reduce a una situación entre rectas como la ilustrada

anteriormente.
2 x − 6 ≥ 3 ↔ 2 x − 6 ≥ 3 o 2x - 6 ≤ -3 y se deduce a una situación de desigualdad simple.

ECUACIONES E INECUACIONES CUADRÁTICAS

16 x 2 + 8 x = −1
200

La ecuación se reduce a encontrar cuando 16 x 2 + 8 x + 1 = 0 ,
para ello se utiliza cualquier método
de factorización utilizado para cuadráticas.150

100

Inspección, fórmula general, completando cuadrados, etc.

50

De acuerdo con la gráfica, 16 x 2 + 8 x + 1 ≥ 0 en todo IR.
-4

-2

2

4

Que sucede en el caso de

2
4
1
=
−
, pues bien, veamos
x − 2 x − 3 x +1
2
4
1
−
+
=0
x − 2 x − 3 x +1

15
10

2( x − 3)(x + 1) − 4(x − 2)( x + 1) + (x − 2)( x − 3)
=0
(x − 2)(x − 3)(x + 1)

5
-10

-5

5

10

-5

− x2 − 5x + 8
=0
(x − 2)(x −...