9 Numeros Y Aritmetica Modular

Estructuras
Discretas I
NUMEROS Y
ARITMETICA
MODULAR
Dra. Norka Bedregal Alpaca
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Teoría de Números

Números Naturales y Números Enteros
Conjuntos:
Naturales
Enteros

N = {1, 2, 3, ...}
Z = {... ,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, ...}

El '0' no pertenece al conjunto N de los números naturales.

Números Enteros
El conjunto, denotado por Z, de números enteros es un conjunto de
números en el que se handefinido dos leyes de composición u
operaciones (suma y producto), entre sus elementos, que verifican los
siguientes axiomas:

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Teoría de Números

Números Enteros

Axiomas de suma y producto de los enteros (Z):
Sean a y b enteros, entonces se cumple:
1.

Cerradura
•
la suma de dos enteros es un entero
•
el producto de dos enteros es un entero

2.

Conmutatividad
•a+b=b+a
•
ab = ba

3.

Asociatividad
•
a+(b+c)=(a+b)+c=(a+c)+b
•
a ( bc ) = ( ab ) c = b ( ac )
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Teoría de Números

Números Enteros

1.

Elemento neutro
1. a + 0 = a
2. a . 1 = a

2.
3.

Distributividad de la multiplicación respecto a la adición
a ( b + c ) = ab + ac

4.
5.

Existencia y unicidad del elemento neutro
existe (-a) tal que a + (-a) = 0

6.
7.

Cancelación
si aes diferente de 0 y ab = ac, entonces b = c

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Teoría de Números

Orden en los Números Enteros

Orden en los Enteros
En el conjunto de los Z se define la relación de orden “ ≤ ” la
cual cumple las siguientes propiedades:
Propiedad reflexiva :
a≤a
Propiedad antisimétrica :
a ≤ b y b ≤ a => a=b
Propiedad transitiva :
a ≤ b y b ≤ c => a ≤ c

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Teoría de Números

Orden en los Números Enteros
Principio de la buena ordenación
Todo subconjunto de Z no vacío y acotado inferiormente (superiormente)
posee un primer (último elemento)
Propiedad
a ≤ b y c > 0 entonces se cumple:
• ac≤ bc
• a+c ≤ b+c
Valor Absoluto

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo entero a está definido por:

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Teoría de NúmerosDivisibilidad en los Números Enteros

Divisibilidad
Si a y b son enteros con a diferente de 0, se tiene que a divide a b si existe un
entero c tal que b = a c.
Si a divide a b, decimos que a es factor de b y b es múltiplo de a.
La notación a│b denota que a divide a b.
Todo n perteneciente a Z es un divisor de 0.

Teorema
Para a, b enteros con b >0, existen un únicos q, r enteros tales que
a = q b +r,
0 ≤ r A los números a, b, q y r se les llama dividendo, divisor, cociente y
resto(residuo, modulo).
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Divisibilidad en los Números Enteros

Teoría de Números

Máximo común divisor

Números Primos
Un entero p >1 se dice que es primo si sus únicos divisores son 1 el
propio p.
Nótese que 1 no es primo.
El número primo más pequeño es el 2, y todos los demás primos(3, 5,
7, 11, ...) son impares.
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Teoría de Números

Divisibilidad en los Números Enteros

Números Compuestos
Un entero n >1 no primo (tal como 4, 6, 8, 9, ...) se dice que es
compuesto: si dichos enteros pueden expresarse de la forma
n = ab

donde 1
1
es decir, donde a y b son divisores propios de n.
Lema
Sea p un primo y sean a y b enteroscualquiera. Entonces:
1.
2.

p es un divisor de a o p y a son primos entre si
Si p divide a ab entónces p divide a a o p divide a b

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Teoría de Números

Divisibilidad en los Números Enteros
Algoritmo de la División

Ejemplo :
Si se quiere hallar el resultado de dividir 19 entre 5 se tiene:
19 = 5 x 3 + 4
es decir, que el cociente es 3 y el residuo 4.
Se puede observar que elresiduo 4 es mayor que 0 y menor que 5 que
es el divisor.
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Teoría de Números

Divisibilidad en los Números Enteros

Otro forma de hallar el residuo y cociente es :
a = 14, b = 3
Luego:
14 -3 = 11
11 - 3 = 8
8-3=5
5-3=2
El cociente es 4 y el residuo es 2.

Teorema Fundamental de la Aritmética

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Teoría de Números

Factorizaciones en los...

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