añgebra lineal

5.2 Núcleo e imagen de una transformación
lineal

FERNANDO NAVA MARTÍNEZ
CECILIA SOTO MATEOS
BRYAN VILLEGAS GUTIÉRREZ
ADÁN MARTÍNEZ ALBINO

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Objetivos. Definir el núcleo y la imagen deuna transformación
lineal, probar que son sub espacios (del dominio y del contra
dominio respectivamente), ver la relación con las pro- piedades
inyectava y suprayectiva, conocer algunos ejemplos.Luego en
otras clases vamos a estudiar, como construir bases en el núcleo
y en la imagen, y como están relacionadas sus dimensiones.

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1. Definicion (la imagen de una transformación lineal). SeanV,W
espacios vecto- riales sobre un campo F y sea T ∈ L(V,W). La
imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de
la aplicacion T:

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im(T) := w ∈ W : ∃v ∈ V tal que w = T(v).

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2. Definicion (el núcleo de una transformación lineal). Sean V,W
espacios vec- toriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V,W). El núcleo
(kernel, espacio nulo) de T se define como la pre imagencompleta del
vector nulo:



ker(T) := x ∈ V : T(x) = 0W



3. Proposición (el núcleo de una transformación lineal es un
subespacio vecto- rial del dominio). Sean V,W espacios vectorialessobre un campo F y sea T ∈ L(V,W). Entonces ker(T) es un subespacio
de V .



4. Proposición (la imagen de una transformación lineal es un
subespacio vec- torial del codominio). Sean V,Wespacios vectoriales
sobre un campo F y sea T ∈ L(V,W). Entonces im(T) es un subespacio
de W.

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Parte de demostración. Se aplica el criterio de subespacio. Se
demuestra que el conjunto im(T) escerrado bajo la adición y bajo
la multiplicación por escalares, adema´s contiene al vector cero.
Mostremos que el conjunto im(T) es cerrado bajo la adición. Sean
w1,w2 ∈ im(T). Por la definición dela imagen, existen v1,v2 ∈ V
tales que w1 = T(v1), w2 = T(v2). Por la linealidad de T, T(v1 +
v2) = T(v1) + T(v2) = w1 + w2.



Logramos encontrar un vector x = v1 +v2 tal que T(x) = w1
+w2....