Actividades de geometría en Selectividad

Índice

Ejercicio 10, página 184 3

Ejercicio 20, página 185 5

Ejercicio 30, página 186 7

Ejercicio 40, página 187 10

Ejercicio 50, página 187 11

Ejercicio 60, página 188 13

Ejercicio 70, página 188 17

Ejercicio 80, página 189 19

Ejercicio 90, página 190 20

Ejercicio 100, página 191 22


Ejercicio 10, página 184

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas ofalsas y justifica tu respuesta. Para las afirmaciones que consideres que son falsas pon un ejemplo ilustrativo.

a) Si tres vectores: , cumplen , entonces

Esta afirmación es falsa:

Podemos ver, que aplicando la propiedad del producto escalar:

Valor numérico

Aunque los valores de , el resultado sigue siendo el mismo: 1. Por lo tanto, podemos decir que la premisa es verdadera, pero nola solución.

b) No existen dos vectores cumpliendo y

Esta afirmación es falsa.

Primeramente porque es un producto escalar, por lo tanto, no tiene módulo, así que la afirmación es falsa.

Lo que podemos considerar posible es:

=

3 = 1· 2 · cos cos= y como este resultado es >1, y sabemos que los valores de coseno no pueden serlo, no existe.

c) Si tres vectores , son linealmenteindependientes, entonces también lo son los vectores , y

Para que se cumpla esta propiedad, los determinantes formados por estos vectores deben ser distintos de cero, es decir, el rango de la matriz determinada por los mismos debe ser de rango 3.


Entonces, si aplicamos la afirmación del enunciado:

Por lo que podemos concluir, que si aplicamos las propiedades de los determinantes,substituyendo una fila o columna por la suma de ésta como combinación lineal de las otras, si determinante debe dar distinto de cero, significando que los tres vectores son independientes y por lo tanto puedes formar una base.

(Cantabria. Septiembre 2007. Bloque 3. Opción A)

Ejercicio 20, página 185

Se sabe que los puntos P1 (2,-3,3) y P2 (0, 1,-1) son vértices de un cuadrado C. Halla los otrosdos vértices de C, sabiendo que están en la recta:


Primeramente, planteamos un esquema del enunciado, sabiendo que el punto donde se cruzan las dos diagonales del cuadrado C es el punto medio, que vamos a abreviar como PM

Sabemos que el punto P4 y el punto P2 están en la misma recta que P3 y P1, por lo tanto, PM también está contenido en ésta.

Sabemos que el punto P4 y el punto P2están en la misma recta que P3 y P1, por lo tanto, PM también está contenido en ésta.

Calculamos el punto medio siguiendo la fórmula:

Sustituimos los valores de los puntos P3 y P1:

El Punto Medio es: (1, -1, 1)

De todos modos, para comprobar que el planteamiento, sustituimos este punto en la ecuación de la recta r para verificar, tanto que el resultado sea correcto, como que realmente estepunto esté contenido en la recta:

1 = 1 = 1. Se verifica.

Al ser un cuadrado, sabemos que la distancia del punto P1 al PM es la misma que la del punto P2 al PM, es decir:

De este modo, vamos a determinar los valores de que posteriormente nos van a servir para determinar los otros dos vértices:

Aclaración: Para hallar los valores de P2, hemos planteado la recta r de forma paramétrica:Seguidamente, calculamos los módulos de los dos vectores encontrados anteriormente, aplicando la fórmula del módulo:

=

= =

==

= = 0

Ahora, sustituimos los valores 0 y 2 en la ecuación paramétrica de la recta r para hallas P2 y P4:

Para

Para

(Navarra. Septiembre 2008. Grupo 1. Opción A)

Ejercicio 30, página 186

a) Los puntos A (1,1,0), B(0,1,1) y C(-1,0,1) sonvértices consecutivos de un paralelogramos ABCD. Calcula las coordenadas del vértice D y el área del paralelogramo.

Primeramente, planteamos el enunciado con un esquema, considerando un paralelogramo cualquiera:



Seguidamente, para calcular las coordenadas, planteamos:

=

A - B = D - C

D = A - B + C

Por lo tanto:

(x,y,z) = (1, 1, 0) - (0, 1, 1) + (-1, 0, 1)

(x,y,z) = (1,...