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Como parte de la exploración de conocimientos previos, es bueno preguntar qué números irracionales conocen, la diferencia entre un irracional y un racional. Al estudiar en la presente unidadademás de conocer los números irracionales que son las raíces cuadradas de los números naturales que no son cuadrados perfectos, es necesario que también conocer la existencia otros númerosirracionales tales como: número y el número e. (número e base de los logaritmos neperianos).

De manera similar a los sistemas de números naturales, enteros y racionales, se hace unapresentación axiomática. Los axiomas que se dan son los mismos que los dados para los números racionales.

El sistema de los números racionales satisface todos los axiomas del sistema de losnúmeros reales, excepto del Axioma del Supremo. Así, sin este axioma, no podríamos demostrar la existencia de los números irracionales tales como .

A continuación exponemos la demostración deque no puede expresarse como el cociente de dos números enteros y que en consecuencia es un número irracional.
Supongamos que y a y b primos entre sí (a/b fracción irreducible)

Entonces,a2 = 2b2 a2 es par a es par
Es decir, a = 2m a2 = 4m2, entonces 2b2 = 4m2 b2 = 2m2
b2 es par b es par.

2. DEFINICION AXIOMÁTICA.

El Sistema de los Números Reales, es un conjuntodenotado por (), que está provisto de dos operaciones internas: adición y multiplicación., de un axioma de distribución de la multiplicación respecto de la adición, de axiomas relativos a laigualdad, axiomas relativos a la relación de orden menor y de un axioma del supremo.

A continuación enunciaremos, ordenadamente cada uno de los axiomas:

2.1. AXIOMAS DE ADICIÓN (, +, 0)La adición es una operación interna (cerrada o de clausura) definida en , tal que, a cada par (a, b) de números reales corresponde al único número real a + b, llamado la suma de a y b.