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ECUACIONES
Una Ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos
expresiones que conforman una ecuación son llamadas sus lados o miembros y están
separadas por el signo de igualdad “=” .
EJEMPLO 1: Resolución de Ecuaciones
a. x + 2 = 3
b. x – 5 = 2
c. 6
4
=
y −
y
d. x2 + 3x + 2 = 0
En el ejemplo anterior cada ecuación contiene al menos una variable. Unavariable es
un símbolo que puede ser reemplazado por un número cualquiera que pertenezca a un
conjunto numérico. Los símbolos más comunes para las variables son las últimas
letras del alfabeto, x, y, z, w y t. En la ecuación x + 2 = 3, los números 2 y 3 son
llamados constantes. Son números fijos.
No está permitido, en una ecuación, que una variable tenga un valor para el cual algunaexpresión en esa ecuación no esté definida. Por tanto, en
6
4
=
y −
y
y no puede ser 4, porque provocaría que el denominador fuese cero (no se puede dividir
entre cero).
Resolver una ecuación significa encontrar todos los valores de sus variables para los
cuales la ecuación es verdadera, (se cumple la igualdad). Estos valores son llamados
soluciones de la ecuación y se dice que satisfacen laecuación. Cuando sólo está
implicada una variable, una solución también es llamada raíz. En ocasiones a una letra
que representa una cantidad desconocida en una ecuación se le denomina incógnita.
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Ejemplos sobre terminología para las Ecuaciones:
a. En la Ecuación x + 2 = 3, la variable x es la incógnita. El único valor de “x” que
satisface la ecuación es 1. De aquí que 1 sea una raíz y elconjunto solución es {1}.
b. –2 es una raíz de x2 + 3x + 2 = 0 porque al sustituir –2 por “x” hace que la ecuación
sea verdadera: (-2)2 + 3(-2) + 2 = 0.
c. W =7 – z es una ecuación con dos incógnitas. Una solución es la pareja de valores
w = 4 y z = 3. Sin embargo, existe una infinidad de soluciones. ¿Podría pensar en
otra?.
Ecuaciones Equivalentes
Generalmente, resolvemos una ecuaciónencontrando una ecuación equivalente que
tenga soluciones que se determinen fácilmente. Realizando las siguientes operaciones,
encontramos ecuaciones equivalentes:
a. Sume o reste de cada lado de una ecuación la misma expresión que represente
un número.
b. Multiplique o divida cada lado de una ecuación por la misma expresión que
represente un número diferente de cero.
EJEMPLO 2: Resolución de unaecuación con ecuaciones equivalentes.
Solución.
3x – 6 = 0 Sumando a ambos lados 6
3x – 6 + 6 = 0 + 6
3x = 6 Multiplicando a ambos lados por
3
1
3
1 (3x) = (6)
3
1
x = 2
Para verificar la solución, se sustituye el valor obtenido en la ecuación original y se
debe cumplir la igualdad.
3(2) – 6 = 0
6 - 6 = 0
0 = 0
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1.1 Ecuaciones Lineales
Una ecuación lineal en la variable x esuna ecuación que puede ser escrita
en la forma ax + b = 0, donde a y b son constantes y a ≠ 0
Una ecuación lineal también es llamada ecuación de primer grado o
ecuación de grado uno, ya que la potencia (exponente) más alta de la variable que
aparece en la ecuación es la primera (1).
Para resolver una ecuación lineal realizamos operaciones en ella hasta que
tenemos una ecuación equivalentecuyas soluciones son obvias. Esto significa una
ecuación en la que la variable queda aislada en un lado de la ecuación.
EJEMPLO 3: Resolución de una ecuación lineal
Resolver 5x – 6 = 3x
Solución: Empezamos por dejar los términos que implican a x en un lado y las
constantes en el otro.
5x – 6 = 3x
5x – 6 + (-3x) = 3x + (-3x) (sumando –3x a ambos miembros),
2x – 6 = 0 (simplificando),
2x – 6 +6 = 0 + 6 (sumando 6 a ambos miembros),
2x = 6 (simplificando),
2
2x =
2
6 (dividiendo ambos miembros entre 2),
x = 3
El conjunto solución es {3}.
EJEMPLO 4: Resolución de una ecuación lineal
Resolver
2
7x + 3 -
4
9x − 8 = 6
Solución: Primero eliminamos las fracciones, multiplicando ambos lados de la
ecuación por mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 4.
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4. (
2...