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Notación

Existe un tipo de expresión matemática que se utiliza para representar la abreviación de algunas operaciones, el cual recibe el nombre de notación. Dos de estas formas de resumen son a menudo utilizadas en Estadística: la productoria, utilizada para abreviar un producto, y la sumatoria, usada para resumir el comportamiento de una suma:

La productoria tiene utilidad en el cálculo demedidas como la media geométrica. Por el momento la atención del concepto de notación recaerá sobre la sumatoria, la cual se utiliza para representar la fórmula de cálculo de la media aritmética y de otras medidas estadísticas.

La notación sumatoria se representa mediante la letra griega sigma mayúscula ( ∑), por tanto, cada vez que se encuentre este símbolo, debe entenderse que se deben sumarlos valores de la variable que esté expresada después del mismo.

En Estadística, lo mismo que en las disciplinas matemáticas, las variables suelen representarse con las letras x, y, z. Por tanto, los valores de una variable x pueden corresponder a los salarios de los 30 maestros de una escuela primaria, a las edades de los 20 niños de una guardería infantil, a los años de condena de los 78reos de un penal, a los años de antigüedad en el servicio de los 120 empleados de una fábrica de calzados, etc.

Dado que la variable x toma el valor x1 para el primer elemento, x2 para el segundo elemento, x3 para el tercer elemento y así sucesivamente hasta xn, siendo n el número total de elementos de la población estudiada (30 en el caso de los maestros, 20 en el caso de los niños, 78 en elcaso de los reos y 120 en el caso de los empleados). Entonces conviene ponerle un subíndice genérico a la variable x, por tanto ahora se hablará de xi.

Ejemplo: Se tienen los valores de la variable xi: x1, x2, x3, …., xn.

Entonces la suma será: x1 + x2 + x3 +…+ xn.

Pero como por el momento no se sabe cuánto es n, si en vez de expresarse con puntos suspensivos se escribiera la suma enforma extendida, podría tenerse una expresión con muchos sumando y, por tanto, ser demasiado larga. Imagínese que n es 10, entonces la suma tendría 10 sumando, pero si n fuese 3,000, la suma tendría 3,000 sumandos y sería tan extensa que probablemente para escribirla se precisaría de varias hojas de papel. Sin embargo, no importa el valor de n, si se utiliza la notación sumatoria la suma puederesumirse a una sola expresión como la siguiente:
n
x1 + x2 + x3 +…+ xn = ∑ xi.
i=1
En este caso, a los valores que están encima y debajo del símbolo de sumaria, es decir i=1 y n se les llama límites de la suma, porque dicen desde dónde hasta dónde se extiende la suma.
Algunos ejemplos del uso de la notación sumatoria:

5
1) ∑ xi = x1 + x2 + x3 +x4 + x5
i=1

n
2) ∑ xi = x1 + x2 + x3 +…+ xn
i=1

n
3) ∑ xifi = x1f1 + x2f2 + x3f3 +…+ xnfn
i=1

7
4) ∑ xifi = x1f1 + x2f2 + x3f3 + x4+f4 + x5f5 + x6f6 + x7f7
i=1

6 2 2 2 2 2 2 2
5) ∑ xj = x1 + x2 +x3 + x4 + x5 +x6
j=1

5
6) ∑ x = 1 + 2 +3 + 4 + 5 = 15
x=1

Teoremas

Sabiendo cómo se opera con la notación sumatoria pueden ser abordados los tres teoremas básicos de la sumatoria. Se trata de tres algoritmos que eventualmente podrían aplicarse como corolarios en la formulación de otras operaciones estadísticas más complejas.


Teorema 1:

La sumatoria del producto de una variable multiplicada por una constante, esigual al producto de la constante por la sumatoria de la variable:

n n
∑ axi = a∑ xi. En este caso, a es la constante y xi es la variable.
i=1 i=1

Al desarrollar la suma se tendrá:

n
∑ axi = ax1 + ax2 + ax3 + ax4 + axn.
i=1

Al lado derecho de la ecuación se tiene la suma por extenso, en la cual se percibe la existencia de a como factor común, por tanto se...