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Diferencial
Concepto:
El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.1 El diferencial de una funciónƒ(x) de una única variable real x es la función df de dos variables reales e independientes x y Δx dada por:

Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencialtambién puede ser escrito dy. Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad

se mantiene.
DEFINICION Y EJEMPLOS
Consideremos la siguiente ilustración en donde aproximamos a la función f por su recta tangente.

 
Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia PT, si le llamamos  a lavariación de f cuando x varía de xo a xo + h y  a la variación de la recta tangente en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir,  f   RT .
Podemos expresar a  RT en términos de h y el ángulo  que forma la recta tangente con el eje de las abscisas. En el triángulo de la figura, que extraemos acontinuación, se observa lo siguiente:
 

 

En virtud de que  RT es un aproximador de la DIFERENCIA  f, lo definiremos como EL DIFERENCIAL DE f en el punto xo, con respecto al incremento h y lo denotaremos por df, es decir,
df = f '(xo)h
Observación: El diferencial, en general depende de h y del punto xo. Por ejemplo el diferencial de f(x) = x2 es:
df = f ' (xo)h = (2xo)h
que también lopodemos expresar como:
d(x2) = (2xo)h
Si especificamos el punto xo, el diferencial dependerá únicamente de h, como se aprecia en los siguientes ejemplos:
 
a) El diferencial de f(x) = x2 en xo =3 es d(x2) = 6h
b) El diferencial de f(x) = x2 en xo =7 es d(x2) = 14h
c) El diferencial de f(x) = x3 en xo =2 es d(x3) = 12h
En el caso de la función identidad f(x) = x, como f '(xo) = 1 para todoxo, su diferencial nos queda como df = f '(xo)h = h o bien dx = h
Como h es el diferencial de la función identidad, podemos re-escribir el diferencial de una función f derivable en xo, como:
df = f '(xo)dx
Esta expresión nos dice que la variación de una función f es aproximadamente proporcional a la variación de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada enel punto en cuestión.
En los siguientes ejemplos estimaremos la variación  f para xo y h dados y la compararemos con el diferencial.
Ejemplo . Verifique que:
a) Para f(x) = x2 se cumple que  f  df en xo = 1 y h = 0.1
      Solución:
 f = f(1.1) - f(1) = 1.21 - 1 = 0.21
df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(0.1) = (2)(0.1) = 0.20
La variación real difiere de la aproximada en una centésima.Observación: El punto xo + h es un punto cercano a xo, que se encuentra a la derecha de éste si h es positivo y a la izquierda si h es negativo. En el siguiente ejemplo consideraremos un incremento negativo.
b) Para f(x) = x2 se cumple que  f  df en xo = 1 y h = -0.1
Solución:
 f = f(0.9) - f(1) = 0.81 - 1 = -0.19
df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(-0.1) = (2)(-0.1) = -0.20
La variación real difiere de laaproximada en una centésima..
c) Para f(x) = x2 se cumple que  f  df en xo = 2 y h = 0.006
Solución:
 f = f(2.006) - f(2) = 4.024036 - 4 = 0.02403
df = f ' (2)dx =(2x|x=2 )(0.006) = (4)(0.006) = 0.02400
La variación real difiere de la aproximada en tres cienmilésimas
.
d) Para f(x) =  se cumple que  f  df en xo = 8 y h = 0.2
Solución:
 f = f(8.2) - f(8) = 2.016529 - 2 = 0.016529
df= f ' (8)dx =(|x=8 )(0.2) = (1/12)(0.2) = 0.016666
La variación real difiere de la aproximada en una diezmilésima.
e) Para f(x) =  se cumple que  f  df en xo = 64, h = 0.2
Solución:
 f = f(64.2) - f(64) = 4.004162334 - 4 = 0.004162334
df = f ' (649)dx =(|x=64 )(0.2) = (1/48)(0.2) = 0.            00416666      
La variación real difiere de la aproximada en cuatro millonésimas.
f) Para...