ajuste de curvas

“Ajuste de ecuaciones a curvas”

Ajuste de ecuaciones a curvas:
introducción a la regresión lineal y no lineal
(F.J. Burguillo, Facultad de Farmacia, Universidad de Salamanca)

1) Si hay alguna técnica que con mayor
frecuencia utilizan los investigadores
ésta es la regresión, incluso muchos de
ellos usan casi exclusivamente la
regresión no lineal. Conviene pues
estudiar los fundamentosde esta
técnica.
En esta sesión se analizarán los
distintos tipos de modelos matemáticos
que se suelen emplear en el ajuste de
curvas, se revisarán los fundamentos de
la regresión lineal y no lineal por
mínimos cuadrados y se pondrán varios
ejemplos sobre el ajuste de modelos a
datos experimentales.

Introducción al ajuste de
ecuaciones a curvas
• Tipos de Modelización Matemática
•Fundamentos teóricos de la regresión
lineal y no lineal
• Ejemplos en Ciencias Experimentales

Diapositiva 1
¿Cómo interpretar los datos de un experimento?
[S] : 1.2
Reacción Enzimática

v:

5.2 6.3 7.2

4.3 5.4 7.2

8.4

9.4
9.5

Describir el sistema
Cuantitativa (ecuación)
Cualitativa (palabras)

v

y = f(x)

v

(S)
(S)
Modelización Empírica

v = a + b[S] +c[S]2

Modelización Teórica

E + S ⇔ ES → P + E
v=

Diapositiva 2

Vmax [S]
KM + [S]

2)

El ajuste de curvas surge cuando el
investigador trata de interpretar los
datos de un experimento. Pensemos por
ejemplo en una reacción enzimática
(diapositiva 2). Los resultados se
describen mejor cuando se encuentra
una ecuación que se ajusta a los datos.
Ese es el objetivo de laModelización
Matemática: obtener ecuaciones que
describan el comportamiento de los
sistemas. Estas ecuaciones pueden ser
de dos tipos: empíricas (Modelización
Empírica) o deducidas en base a una
teoría física (Modelización Teórica).

1

“Ajuste de ecuaciones a curvas”

2

Modelización Empírica
Situación:

Sistema

Estímulo

Respuesta

(Mecanismo
desconocido)

Ecuación empíricaInterés:

•Supone una cuantificación
•Permite: calibración, predicción…

Ecuaciones : Polinomios :

y = a + bx + cx 2
y = ∑ (a + bx + cx 2 + dx 3 )i

Cubic splines :

Trampas : • Diferentes ecuaciones ajustan datos (no significado fisico)
• Aumento de parámetros mejora ajuste (hiperajuste)

Diapositiva 3

3) La Modelización Empírica trata de
encuentrar una ecuación cualquiera quecierre con los datos del sistema,
independientemente de que esa
ecuación tenga o no significado físico
sobre lo que está ocurriendo en el
sistema. Supone ya una cierta
cuantificación y permite aspectos
operacionales como la calibración,
predicción y simulación. Por otra parte,
unos mismos datos se pueden
interpretar igualmente bien con
diferentes ecuaciones, pero conviene
elegir siempreaquellas que tenga menor
número de parámetros.
4)

Modelos empíricos habituales
Polinomios

y n = a + bx + cx 2 + ...nx n

• Adecuados para curvas suaves en calibración
• Adecuados para datos sin mucho ruido
• Cuidado porque son demasiado flexibles (hiperajuste)

Los modelos empíricos más
habituales son los polinomios de
distinto grado y los tramos de cúbicas
(cubil splines).Algunas de sus ventajas
e inconvenientes aparecen recogidos en
la diapositiva 4.

Cubic splines y = ∑ (a + bx + cx2 + dx 3 )i
Nudo 2
Nudo 1

• Adecuados para datos con ruido (por ej. en calibración)
• Subjetividad al elegir el nº de nudos (hiperajuste)

Diapositiva 4

5)

Modelización Teórica
En ecuaciones algebráicas

+L
M0

K1

[M1]
K1 =
[M0] [L]
y=

En ecuacionesdiferenciales

+L
M1

K2

E*S

E* + S
M2

[M2]
K2 =
[M1] [L]

K1[L] + 2K1K2[L]2
2(1 + K1[L] + K1K2[L]2 )

E

E

P

d[ES*]
= k1[S][E*] - (k - 1 + kcat)[ES*]
dt
d[P]
= kcat [ES*]
dt
........... etc

fracción de sitios ocupados

Diapositiva 5

La Modelización Teórica se hace
normalmente en base a dos estrategias:
modelos en ecuaciones algebráicas para
los sistemas...