Ajuste de curvas

Análisis Numérico y Programación

Unidad II
AJUSTE DE CURVAS Regresión polinomial Regresión lineal múltiple

Primavera 2009

LMM

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2.2 Regresión polinomial
• Ajuste a polinomio de grado 2: • Nuestro modelo considera que el comportamiento del sistema es parabólico

y = a0 + a1 x + a2 x 2 + e
Intersección con eje y

¿Cuál es la mejor parábola?Error o residuo: diferencia entre el modelo y las observaciones

Ajuste por mínimos cuadrados Minimizar la suma Sr de los cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo lineal
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Suma de cuadrados de los residuos entre la y medida y la y calculada con el modelo
y
Medición

yi

ei = yi − a0 − a1 xi − a2x 2

y calculada a0 X

xi
Sr = ∑ ei2 = ∑ ( yi ,medida − yi ,mod elo ) 2 = ∑ ( yi − a0 − a1 xi − a2 x 2 ) 2
i =1 i =1
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n

n

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Reducción a un sistema de ecuaciones lineales con a0 , a1 y a2 como incógnitas
Similarmente, minimizamos igualando derivadas parciales a cero
n ⎛ n ⎞ ⎛ n 2⎞ na0 + ⎜ ∑ xi ⎟a1 + ⎜ ∑ xi ⎟a2 = ∑ yi i =1 ⎝i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
n ⎛ n ⎞ ⎛ n 2⎞ ⎛ n 3⎞ ⎜ ∑ xi ⎟a0 + ⎜ ∑ xi ⎟a1 + ⎜ ∑ xi ⎟a2 = ∑ xi yi i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ n ⎛ n 2⎞ ⎛ n 3⎞ ⎛ n 4⎞ ⎜ ∑ xi ⎟a0 + ⎜ ∑ xi ⎟a1 + ⎜ ∑ xi ⎟a2 = ∑ xi2 yi i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠

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Matriz aumentada
Columna j

i=1 i=2 i=3

⎛ ⎜ n ⎜ ⎜ x ∑i ⎜ ⎜ 2 ∑ xi ⎜ ⎝

j=1

j=2
i

j=3
2 i 3 i∑x ∑x ∑x ∑x ∑x ∑x
2 i 3 i
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4 i

⎞ ∑ yi ⎟ ⎟ xi yi ⎟ ∑ ⎟ ⎟ 2 ∑ xi yi ⎟ ⎠

Renglón i

Potencia de elemento i,j es i+j-2

Potencia de x es i-1 5
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Pseudocódigo para generar coeficientes del sistema de ecuaciones
m grado del polinomio=orden n número de datos

DOFOR i=1,orden DOFOR j=1,i k=i+j-2 sum=0 DOFOR l=1,n sum=sum+xlk ENDDOai,j=sum aj,i=sum

Renglón I Columna j

Sumatoria de potencias Coeficiente i,j La matriz es simétrica
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Pseudocódigo
sum=0 DOFOR l=1,n sum=sum+yl xli-1 ENDDO sum=0 ci=sum ENDDO Término independiente Producto de y con potencias de x

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“Bondad” del ajuste
Coeficiente decorrelación r: cuantifica la mejora o reducción del error al describir los datos mediante una línea recta en lugar de un valor promedio. Notar que está normalizada

r=

St − S r St

S t = ∑ ( yi − y ) 2
i =1

n

Sr=0 Sr=St

r =1 ajuste perfecto,la línea describe al 100% los datos. r =0 el ajuste no representa ninguna mejora.

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Otras cantidades
Error estándar del estimado Sy/x cuantifica la dispersión de los datos alrededor de la línea de regresión

Sy / x =

Sr n − ( m + 1)

Coeficiente de determinación r2

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Ejemplo Ajuste a un polinomio de
segundo grado

i 1 2 3 4 5 6

xi 0 1 2 3 4 5

yi 2.1 7.7 13.6 27.2 40.9 61.1

15 55 ⎞⎛ a0 ⎞ ⎛152.6 ⎞ ⎛ 6 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 15 55 225 ⎟⎜ a1 ⎟ = ⎜ 585.6 ⎟ ⎜ 979 225 979 ⎟⎜ a ⎟ ⎜ 2488.8 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
Compruebe que syx = 1.12 r2 = 0.9993 Y el ajuste por mínimos cuadrados es

y = 2.47857 + 2.35929 x + 1.86071 x2
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Gráfica

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Ejercicios
• Haga un programa en el cual,además del número de datos, otro dato de entrada sea el orden del polinomio. • Utilice la subrutina que resuelve el sistema de ecuaciones usando eliminación gaussiana. • Reproduzca los resultados de la tabla anterior. a) Cree un archivo con los datos b) Haga la gráfica correspondiente Resuelva los problemas 14, 15, 18 y 24 del Cap. 17
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