Alehp: interseccion conica

PLANTEAMIENTO Y SOLUCIÓN A UN PROBLEMA TOPOGRAFICO PROBLEMA “ALEPH”

Por: GONZALO DUQUE ESCOBAR P. A.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SECCIONAL MANIZALES

Manizales, febrero de 1984. Versión corregida y ampliada por el autor, en marzo 2006

DEDICATORIA

Al Maestro, el Ingeniero CARLOS ENRIQUE RUIZ: Fundador y Director de la Revista "ALEPH" *

* http://www.revistaaleph.com.co/

1.INTRODUCCIÓN

Esta creación antes que a otra causa, se debe más a lo que he aprendido de mis alumnos.

También es el esfuerzo de siete años de trabajo, desde la búsqueda hasta la solución de un método topográfico, en las cátedras de Topografía en Ingeniería Civil, útil para la localización de puntos en un espacio tridimensional.

2. ENUNCIADO

Desde tres placas A, B y C definidas por sustres coordenadas topográficas, se observa un punto P a determinar con los ángulos de inclinación α, β y γ (Figura 1).

A(AI, A2, A3) B(BI, B2, B3) C(C1, CZ, C3) P(P1, P2, P3)

Figura 1: Problema 'ALEPH': planta con ángulos de elevación hacia un punto P por definir, medidos desde tres puntos A, B y C, no intervisibles y de coordenadas X, Y y Z conocidas.

3. DISCUSIÓN

Cada visual, nohorizontal, describirá un cono circular recto con vértice en su respectiva placa. El punto P será la intersección común de los tres conos, cuya expresión es de la forma:
z − z0

tan ε =

(x

− x0

)2

+

(y

− y0

)2

…………………….(0)

Si consideramos las visuales al punto P como generatrices de los conos, a la altura del punto pedido, las directrices serán tres circunferenciasinterceptadas en P.

4. LA ROSA 'ALEPH'
Supongamos el desplazamiento de las visuales en A y B (Figura 2)

Figura 2: La Rosa ALEPH es la intersección entre dos conos.

Si el ángulo α es mayor que β, la intersección de los dos conos estará entre los círculos directrices del cono A y con alturas relativas n y m. Esta intersección será “la rosa ALEPH” de pétalos plegados en la dirección AB. Si α y βson ángulos iguales, la altura m será infinita. La sombra de la rosa es la intersección de las visuales para -α y –β.

5. SOLUCIÓN GRÁFICA:

Dibujamos en el plano XY las curvas de nivel a intervalo constante, comprendidas entre las alturas relativas n y m y que pertenezcan a cada uno de los conos, es decir, representamos con directrices a partir de n y sobre el plano Z, los tres conos segúnlos ángulos α, β y γ. Uniendo puntos de intersección de los círculos de A con B que tengan igual altura, obtenemos la “rosa ALEPH” (Figura 3). Esta es la intersección de los conos, obtenida a partir de sus curvas de nivel.

Figura 3: Intersección de dos conos: los de las visuales A y B.

También se obtiene de las intersecciones de igual cota entre los círculos de A y C, la "rosa ALEPH"correspondiente a este par de conos.

La tercera “rosa ALEPH” generada por los conos B y C, interceptará las rosas anteriores, entregando como solución el punto P en la común intersección de todas. (Figura 4).

Figura 4: Solución gráfica de "ALEPH: P es la intersección de las tres rosas.

6. AJUSTE ANALITICO

Para calcular las coordenadas del punto P, con despreciable error topográfico,utilizamos un algoritmo (Supongamos que P es interior al triángulo ABC). Si asumimos como valor de tanteo inicial, una altura Z en el punto P, tal que su valor supere el de n, podrá calcularse las proyecciones de las distancias AZ BZ y CZ, sobre el plano XY que es el horizonte. Para tal efecto se utilizan las ecuaciones siguientes de la función tangente, donde Z' es la proyección de Z sobre XY: AZ' = (Z -A3) tan α …………………(1) BZ' = (Z - 83) tan β …………………(2) CZ' = (Z - C3) tan γ …………………(3)

Puede ocurrir con este primer valor de Z, próximo a P, que Z < P3, o bien, que Z > P3 (Figura 5). P3 es la tercera coordenada de P.

Figura 5. Aproximación al intercepto de las “rosas ALEPH": ZP.

NOTA: "Con las tres proyecciones de las visuales, tenemos tres radios de circunferencias directrices o...