Algebra booleana

EL ALGEBRA DE BOOLE
Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirlacomo parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en1948.
Los operadores fundamentales se definen así:
Negación
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La negación es un operador que opera sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Conjunción
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La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdaderocuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso.
La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.
Disyunción
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La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor deverdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

Que se corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.

Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición molecular, así como el análisis de la misma en función de lasproposicíones que la integran, encontrándonos con los siguientes casos:
Verdad Indeterminada o Contingencia
Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: A /\ (B \/ C).
Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:
Ocho filas que responden a los casos posibles quepueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)
Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de B \/ C aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)
Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre losvalores de A (columna 1) y valores de la columna B \/ C, (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa A /\ (B \/ C), cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
A | B | C | B\/C | A/\(B\/C) |
V | V | V | V | V |
V | V | F | V | V |
V | F | V | V | V |
V | F | F | F | F |
F | V | V| V | F |
F | V | F | V | F |
F | F | V | V | F |
F | F | F | F | F |
Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición A/\(B\/C) es V y cuándo es F
Contradicción
Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores deverdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones de unas con otras. Sea el caso: [(A/\B)/\¬(A\/B)]/\C
Procederemos de manera similar al caso anterior. Aplicamos (Columna 4) la definición de conjuntor a los valores de A y B.(columnas 1,2 → 4) Después aplicamos la definición de disyuntor a los valores de A y B. (columnas 1,2 → 5) Aplicamos en la...