Algebra booleana

Simbolo | Tabla de Verdad | Función algebraica |
AND | A B X0 0 00 1 01 0 01 1 1 | X = A ° B AB |
OR | A B X 0 0 00 1 1 1 0 11 1 0 | A = A + B |
INVERSOR (NOT) | A X 0 11 0 | A = A° A |
SEPARADOR | A X0 11 0 | X = A |
NAND | A B X0 0 10 1 11 0 11 1 0 | X = (AB)*|

NOR | A B X0 0 10 1 01 0 01 1 0 | X = (A + B)* |
OR (Exclusivo de XOR) | A B X0 0 00 1 11 0 11 1 0 | X = A B A B + A B |
NOR (Exclusivo, Equivalencia) | A B X0 0 10 1 01 0 01 1 1 | X = A B AB + AB |

TEOREMA PRIMAL |TEOREMA DUAL |
T.1.a. 0 es único | T.1.b. 1 es único |
T.2.a A + A = A | T.2.b. A . A = A |
T.3.a. A + 1 = A | T.3.b. A . 0 = 0 |
T.4.a. A + (A . B) = A | T.4.b. A . (A + B) = A |
T.5. A' es único | No tiene |
T.6. A = A'' | No tiene |
T.7.a. A . [(A + B) + C] = [(A + B) + C] . A = A | T.7.b. A + [(A . B) . C] = [(A . B) . C] + A = A |
T.8.a. A + (B + C) = (A + B) + C | T.8.b. A . (B. C) = (A . B) . C |
T.9.a. A + (A' . B) = A + B | T.9.b. A . (A' + B) = A . B |
T.10.a. (A + B)' = A' . B' | T.10.b. (A . B)' = A' + B' |
T.11.a. (A . B) + (A' . C) + (B . C) = (A . B) + (A' .C ) | T.11.b. (A + B)(A' + C)(B + C) = (A + B)(A' + C) |
T.12.a. (A . B) + (A . B' . C) = (A . B) + (A . C) | T.12.b. (A + B)(A + B' + C) = (A + B) (A + C) |
T.13.a. (A . B) + (A . B') = A |T.13.b. (A + B) . (A + B') = A |

POSTULADOS.
P.1. Existe un conjunto M de elementos sujetos a una relación de equivalencia denotada por el signo = que satisfacen el principio se sustitución.
P.2.a. Para toda (A, B) en M, A + B es una operación binaria (suma lógica) denotada por el signo +, tal que:
(A + B) está en M
Es decir, el conjunto M es cerrado a esta operación.
P.2.b. Para toda (A, B)en M, A . B es una operación binaria (producto lógico) denotada por el signo ., tal que:
(A . B) está en M
Es decir, el conjunto M es cerrado a esta operación.
P.3.a. Existe un elemento 0 en M, tal que:
A + 0 = A
para toda A en M.
P.3.b. Existe un elemento 1 en M, tal que:
A . 1 = A
para toda A en M.
P.4.a. Para toda (A, B) en M:
A + B = B + A
Se satisface la propiedadconmutativa
P.4.b. Para toda (A, B) en M:
A . B = B . A
Se satisface la propiedad conmutativa
P.5.a. Para toda (A, B, C) en M:
A + (B . C) = (A + B) . (A + C)
Ley distributiva de la suma sobre el producto
P.5.b. Para toda (A, B, C) en M:
A . (B + C) = (A . B) + (A . C)
Ley distributiva del producto sobre la suma
P.6.a. Para todo elemento A en M, existe un elemento A', tal que:
A +A' = 1
P.6.b. Para todo elemento A en M, existe un elemento A', tal que:
A . A' = 0
P.7. Existen por lo menos (A, B) en M, tal que:
A es diferente de B
T.10. Teoremas de DeMORGAN.
10. a. (A + B)'' = A' . B'
10.b. (A . B)' = A' + B'
Demostración de 10.a.
Primera parte:
(A + B) + (A' . B') = [(A + B) + A'] . [(A + B) + B'] (P.5.a.)
(A + B) + (A' . B') = [A' + (A + B)] . [(A + B) +B'] (P.4.a.)
(A + B) + (A' . B') = [(A' + A) + B] . [A + (B + B')] (T.8.)
(A + B) + (A' . B') = (1 + B) . (A + 1) (P.6.a.)
(A + B) + (A' . B') = 1 . 1 (T.3.a.)
(A + B) + (A' . B') = 1 (T.2.b.) (1)
Segunda parte:
(A + B) . (A' . B') = (A' . B') . (A + B) (P.4.b.)
(A + B) . (A' . B') = (A' . B' . A) + (A' . B' . B) (P.5.b.)
(A + B) . (A' . B') = 0 + 0 (P.6.b.)
(A + B) . (A' . B') = 0 (T.2.a.)(2)
Por tanto, de (1) y (2) se concluye que:
(A + B)' = A' . B'
T.11.
11.a. (A . B) + (A' . C) + (B . C) = (A . B) + (A' . C)
11.b. (A + B) . (A' + C) . (B + C) = (A + B) . (A' + C)
Demostración de 11.a.
(A . B) + (A' . C) + (B . C) = (A . B . 1) + (A' . 1 . C) + (1 . B . C) = (P.3.b.)
= [A . B . (C + C')] + [A' . (B + B') . C] + [(A + A') . B . C ] = (P.6.b.)
= (A B C) + (A B C') + (...