Algebra Booleana

UNIDAD 2 “ÁLGEBRA BOOLEANA Y CIRCUITOS COMBINATORIOS”
En 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para el tratamiento de variables cuyo valor podría ser verdadero o falso (variables binarias). Un siglo después se observo que el algebra booleana se podía utilizar para analizar circuitos eléctricos, de tal forma que el algebra booleana es uno de las principales herramientas para elanálisis y diseño de las computadoras electrónicas. Las expresiones booleanas son una representación de la función que realiza un circuito digital.

Sistema digital: Es cualquier sistema que genera, procesa, transmite y almacena información, siendo está representada por magnitudes físicas discretas.

Para entender mejor este concepto consideremos que en la ciencia, tecnología, negocios y enotros campos se están manejando constantemente cantidades. Las cantidades son medidas, monitoreadas grabadas, manipuladas aritméticamente, observadas, o de alguna otra manera utilizadas en la mayoría de los sistemas físicos. Es importante, cuando tratamos con diferentes cantidades que seamos capaces de representar sus valores con precisión y de manera eficiente.

Existen dos formas de representar elvalor numérico de las cantidades: La forma analógica y la forma digital


Circuitos combinatorios
Existen dos tipos básicos de sistemas digitales: Combinatorios y Secuenciales.

Circuito Combinatorio: un circuito combinatorio consta de compuertas lógicas cuyas salidas en cualquier momento están determinadas en forma directa por la combinación presente de las entradas sin tomar encuenta las entradas previas.

Circuito Secuencial: Los circuitos secuenciales emplean elementos de memoria, además de las compuertas lógicas, sus salidas son una función de las entradas y el estado de los elementos de memoria, el estado de memoria a su vez, es una función de las entradas previas. Como consecuencia, las salidas del circuito secuencial no solo dependen de las entradas presentes, sinotambién de las entradas pasadas almacenadas en las memorias.

Compuertas lógicas
En circuitos digitales se utilizan las compuertas lógicas que son una implementación electrónica de las operaciones lógicas de conjunción, disyunción y negación.
A continuación se muestra las compuertas lógicas, con su tabla de verdad y símbolo
Nombre | Símbolo | Función algebraica | Tabla de verdad |AND | | ¡ | x | y | F |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
|
OR | | | x | y | F |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
|
Inversor | | | x | F |
0 | 1 |
1 | 0 |
|
Buffer | | | x | F |
0 | 0 |
1 | 1 |
|
NAND | | | x | y | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
|
NOR | | | x | y | F |
0 | 0 | 1 |0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 |
|
Excluyente-OR(XOR) | | | x | y | F |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
|
Excluyente-NOR | | | x | y | F |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
|

Álgebra booleana
El algebra de booleana, como cualquier otro sistema matemático deductivo, puede definirse como un conjunto de elementos, un conjuntode operadores y un número de axiomas no probados o postulados.

Tabla de postulados y teoremas del algebra booleana
Postulado 2 | | |
Postulado 5 | | |
Teorema 1 | | |
Teorema 2 | | |
Teorema 3, involución | | |
Postulado 4, conmutativo | | |
Teorema 4, asociativo | | |
Postulado 4, distributivo | | |
Teorema 5, de De Morgan | | |
Teorema 6, absorción| | |
Los postulados son axiomas básicos y no necesitan prueba, los teoremas deben de probarse mediante los postulados.

Funciones booleanas
Una función booleana es una expresión formada por variables binarias, la cual puede tomar valores de 0 ó 1, los dos operadores binarios OR, AND, el operador unitario NOT, paréntesis y signo de igual
Ejemplo:
Esta función es igual a 1, si...