Algebra de Boole + Mapa Karnaugh

Tema 3

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Algebra de Boole y circuitos con
puertas l´gicas
o
Los circuitos que componen una computadora son muy diversos: los hay destinados a aportar
la energ´ necesaria para las distintas partes que componen la m´quina y los hay dedicados a
ıa
a
generar, procesar y propagar se˜ales que contienen informaci´n. Dentro de este segundo grupo
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o
se distinguen a su vez circuitos quetrabajan con informaci´n anal´gica y los que tratan con
o
o
valores digitales. Este cap´
ıtulo se centra en el estudio de estos ultimos, los circuitos digitales y
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se presenta la base o fundamento te´rico de los mismos, que es el algebra de Boole.
o
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Las puertas l´gicas son una manera muy conveniente de realizar circuitos l´gicos por lo que
o
o
son usadas en las computadoras digitales.No hay espacio para describirlas en detalle, por lo
que se explican los diversos tipos mostrando como se pueden realizar ciertas funciones con ellas.

3.1

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Algebra de Boole

En 1854 George Boole public´ un libro titulado ”Investigaci´n sobre las leyes del pensamiento”,
o
o
formulando un m´todo simb´lico para el estudio de las relaciones l´gicas. Sus ideas tuvieron
e
o
o
largotiempo despu´s una repercusi´n muy importante en diversas areas. En el esquema ideado
e
o
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por Boole, las proposiciones o sentencias s´lo pueden clasificarse en dos grupos: las verdaderas y
o
las falsas. El resultado de combinar cierto n´mero de sentencias es f´cilmente deducible usando
u
a
las propiedades de las operaciones en el algebra. En 1938 Shannon encontr´ una aplicaci´n:
´
o
o
´los circuitos el´ctricos con interruptores. Estos pueden ser analizados y dise˜ados empleando el
e
n
algebra de Boole y han hallado aplicaci´n en diversos campos como la automatizaci´n .
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o
o
Las computadoras digitales usan codificaci´n binaria, por lo que una unidad elemental de
o
informaci´n puede tomar s´lo dos valores: cero o uno, lo cual deja abierta la puerta al uso de
o
o
last´cnicas de Shannon. En efecto, la base de las computadoras son circuitos l´gicos como el de
e
o
la figura 3.1, los cuales son analizados mediante el algebra de Boole. En dicha figura el circuito
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se puede considerar como una m´quina que transforma se˜ales de entrada ( la posici´n de los
a
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interruptores a, b, y c) en se˜ales de salida (el estado de la l´mpara L).
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a
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TEMA3. ALGEBRA DE BOOLE Y CIRCUITOS CON PUERTAS LOGICAS

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b

a

batería

a
L

b

interruptor

c

L

c
lámpara

Figura 3.1: Ejemplo de circuito l´gico con una bater´ tres interruptores a, b, y c y una l´mpara
o
ıa,
a
L.

3.1.1

Elementos b´sicos
a

Desde un punto de vista formal, el algebra de Boole se compone de dos elementos: variables y
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operaciones, que secomentan a continuaci´n.
o
• Variables l´gicas. s´lo pueden tomar un valor entre dos opciones excluyentes 0 y 1. En
o
o
los circuitos con interruptores un interruptor puede estar abierto (0) o cerrado (1). Una
l´mpara puede estar encendida (1) o apagada (0). De este modo, el estado de los distintos
a
elementos del circuito, se describe usando variables l´gicas.
o
• Operaciones. Lasoperaciones permiten combinar variables l´gicas para obtener como reo
sultado otras variables. Las operaciones b´sicas del algebra de Boole se describen a cona
´
tinuaci´n.
o
• Suma l´gica. Se simboliza como a + b. El valor de la suma es 1 si y s´lo si alguno o
o
o
varios de los sumandos vale 1. El circuito de la figura 3.2 es un ejemplo que realiza
la suma l´gica. El valor de la variable fasociada al estado de la l´mpara se puede
o
a
obtener como suma l´gica de las variables a y b correspondientes a los interruptores.
o
A la izquierda en la figura se indica la tabla de sumar.
a

b
0
1

0

1

0

a

1

1

1

f = a+b
b

Figura 3.2: Tabla de verdad y circuito de la suma l´gica de las variables a y b.
o
La suma l´gica equivale a la operaci´n O puesto que a +...