algebra de boole

Algebra de Boole
Es una estructura en el área de la algebra cuya postulado fue hecho por George Boole en 1895; que expresaba los operaciones o compuertas lógicas, como lo son AND, OR, NAND, NOR. Todo esto se representa en operaciones binarias: verdaderas o 1, y falso o 0, el cual se le aplica las operaciones lógicas. Todas tienen entrada y salida de valores bolleanos
Postulados:
SumaProducto
Complemento
0 + 0 = 0
0 . 0 = 0
0 = 1
0 + 1 = 1
0 . 1 = 0
1 = 0
1 + 0 = 1
1 . 0 = 0

1 + 1 = 1
1 . 1 = 1


Donde la suma representa la operación lógica OR y el producto la operación lógica AND, el complemento seria el negado o NOT.

TEOREMAS
X X
Doble negación
X •X  X
Idempotencia
X X  X
Idempotencia
X (Y  Z)  (X  Y)  Z
Ley asociativa
X •(Y •Z) (X •Y) •Z
Ley asociativa
(X  Y) (Y + X)
Ley conmutativa
(X • Y)  (Y •X)
Ley conmutativa
X (Y •Z)  (X Y)• (X + Z)
Ley distributiva
X • (Y+ Z)  (X •Y)  (X • Z) 
Ley distributiva
(X  Y) X • Y 
Ley de De Morgan
(X •Y) X  Y 
Ley de De Morgan
X  0 X  
Ley de identidad
X •1 X  
Ley de identidad
X  1 1 
Ley de dominación
X • 0 0 
Ley dedominación
X  (X• Y) X  
Ley de cobertura
X • (X  Y) X  
Ley de cobertura
X• X  0
Ley de contradicción
X + X 1
Ley de contradicción

Principio de la dualidad
A toda relación lógica le corresponde un dual, que se crea a través del intercambio de las compuertas lógicas AND y OR.
Además hay que cambiar la variable por su negada. Como veremos no cambia la tablaConstrucción de una tabla la verdad
Toda tabla de la verdad consta de 2 tipos de columnas: las de la izquierda van a tener todas las posibilidades, falsedad de letra o variables proporcionales, y las de la derecha van a tener el valor de lar funciones que se aplican según sea cada ejercicio.
Para la construcción de una tabla de la verdad primero se tiene que saber cuantos combinaciones posibles sepueden obtener en la operación y se le aplica la formula 2 a la “n”, donde “n” es el numero de variable, después lo representamos en una tabla donde las variables y funciones a aplicar son el numero de columnas y las posibles combinaciones son el numero de filas
Después en la columna dela primera variable se pone la mitad verdadera o 1 y la otra falsa o 0, para la columna de la segundavariable se alterna una verdadera, otra falsa, una verdadera, otra falsa, así sucesivamente; y si ahí una tercera variable se vuelve a copiar los mismo de la primera y segunda variable otra vez, y la columna de tercera variable se copia la mitad verdadera y la otra mitad falso
Y por ultimo se resuelve las funciones que tenga el problema para cada posible combinación, para esto se tiene que resolvercada función por separado, y de menor dominancia a mayor dominancia hasta terminar el problema. Ejemplo:
p
q
 p
¬ q
(p q)
( p¬ q )
 ( p¬ q  )
(p q)   ( p¬ q  )
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
 
 
NIVEL 1
NIVEL 2
NIVEL 3
NIVEL 4
NIVEL 5
NIVEL 6

Mapa de karnaugh
Esta representación nos permitesimplificar a su menor expresión posible cada operación, para realizarla lo mas recomendado es hacer primero la tabla de la verdad
Después tenemos que convertir la expresión en una suma de productos si es necesario : se realiza trasladando los datos de la tabla de la verdad a el mapa de karnaugh. Ejemplo:
 



X
 Y 
 Z 
 Resultado
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
11
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
                 


Después creamos pequeños rectángulos donde agrupamos solamente los unos, no los ceros, y no se pude agrupar en números impares, como un rectángulo de tres , y ahí que agrupar la menor cantidad de veces posibles; ejemplo:

Véase que en este caso se ha unido la columna la izquierda con la derecha para formar un único rectángulo.
Y...